5.3.2函数的极值与最大（小）值第3课时学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

编号：GBDXCZQ-G02-XB04-03-0202-DXA 育学生做厚德高尚之人，导学生走博学成才之路 5.3.2函数的极值与最大（小）值（第三课时） 学习目标： （1） 从几何方面直观理解函数的最值与极值的区别与联系. （2）能利用导数求某些函数的最大(小)值． （3）通过实例体会数形结合思想，发展直观想象素养，发展数学运算、逻辑推理的数学素养 学习重点：应用导数求函数的最值 学习难点：数学建模思想的应用以及对现实最值问题体现的实际意义的理解 一、课堂导入 回顾知识点： 1、极值的概念：函数在点处的函数值比它在点附近其他点的函数值都 ， ；而且在点附近的左侧 0，右侧 0，类似地，函数在点处的函数值比它在点附近其他点的函数值都 ， ；而且在点附近的左侧 0，右侧 0． 我们把叫做函数的 ，叫做函数点的 ；叫做函数的 ，叫做函数的 ；极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值。 2、求函数的极值的方法： 一般地，可按如下方法求函数的极值： 解方程，当时： （1）如果在附近的左侧 0，右侧 0，那么是极大值； （2）如果在附近的左侧 0，右侧 0，那么是极小值． 3、求函数最值的方法 二、基础感知 问题1：导数可以刻画函数的哪些性质？它是如何刻画的？请结合教材5.3的内容，用自己的语言谈谈。 问题2：通过这些性质，你能粗略画出函数的图像么？请尝试绘制具有下列性质的函数图像。 已知，它的导数变化情况如下表： -2 - 0 + 单调递减 -1 单调递增 当时，；当；在时变化较慢，在时变化特别快。当当 三、能力提升 探究一 如何利用导数解决与函数相关的问题 例 给出函数． （1）判断函数的单调性，并求出的极值； 1、确定函数的定义域： 2、求出导函数及导函数的零点： 3、用导数 将函数定义域划分 ，由此得出函数在相应区间的单调性： 结合表格分析函数性质： 由上可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增，（单调性） 当 时，有极 值， ；极值点是（ ， ） （2）画出函数的大致图象； 4、求出特殊点：与轴、与轴的交点坐标或其它： 5、依据导函数分析变化速度的快慢： （2） 求出方程的解的个数． 归纳总结：画出函数的大致图象的步骤： 跟综训练1：利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证： ，： 探究二 导数在解决实际问题中的应用 例 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是分，其中（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径是6 cm． （1）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （2）瓶子的半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 跟综训练2：如图，用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为．为使所用材料最省，圆的直径应为多少？ 四、课后作业 基础题 1、求下列函数在给定区间上的最大值与最小值 （1） （2） （3） （4） 2、将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒 （1）试把方盒的容积V表示成的函数 （2）多大时，方盒的容积V最大？ 3、给定函数 （1） 判断函数的单调性，并求出的值域 （2） 画出函数的大致图象 （3） 求出方程（）区间上的根的个数 提高题 1、 已知函数在与处都取得极值 （1） 求的值及函数的单调区间 （2）若对，不等式恒成立，求的取值范围 2、已知函数， （1） 证明：曲线在点处的切线与曲线相切 （2） 当时，证明 3、已知函数，，若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围 4、已知函数 （1） 讨论的单调性 （2） 当时，函数的最大值为，求不超过的最大整数 学科网（北京）股份有限公司 $$