5.3.2函数的极值与最大（小）值第1课时学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

编号：GBDXCZQ-G02-XB04-03-0202-DXA 育学生做厚德高尚之人，导学生走博学成才之路 5.3.2函数的极值与最大（小）值（第一课时） 学习目标： （1） 了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系； （2）掌握函数极值的判定及求法，掌握函数在某一点取得极值的条件； （3）通过实例体会数形结合思想，发展直观想象素养，发展数学运算、逻辑推理的数学素养 学习重点：了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系 学习难点：掌握函数极值的判定及求法，掌握函数在某一点取得极值的条件 一、课堂导入 思考：在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减，如果函数在某些点处的导数为0，那么这些点处的函数有什么性质呢？ 二、基础感知 问题1：观察图5.3-9，我们发现，当时，高台跳水运动员距水面的高度最大．那么，函数在此点的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的正负性有什么变换规律？ 可以看出，； 当时，函数单调 ，；当时，函数单调 ，． 这就是说，在附近，函数值先 （当时，）后 （当时，）．这样，当在附近从小到大经过时，先 后 ，且连续变化，于是有． 问题2：探究教材90页:如图5.3-11，函数在等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？在这些点的导数值是多少？在这些点附近，的导数的正负性有什么规律？ 以两点为例，可以发现，函数在点处的函数值比它在点附近其他点的函数值都 ， ；而且在点附近的左侧 0，右侧 0，类似地，函数在点处的函数值比它在点附近其他点的函数值都 ， ；而且在点附近的左侧 0，右侧 0． 我们把叫做函数的 ，叫做函数点的 ；叫做函数的 ，叫做函数的 ；极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值。 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质。 问题3 如何区分极大值与极小值呢？ 一般地，可按如下方法求函数的极值，解方程，当时： （1）如果在附近的左侧 0，右侧 0，那么是极大值； （2）如果在附近的左侧 0，右侧 0，那么是极小值． 三、能力提升 探究一 求函数的极值 1、确定函数的定义域： 2、求出导函数及导函数的零点 3、用导数零点将函数定义域划分若干区间，列表给出导数在各区间的正负，由此得出函数在相应区间的单调性： 结合表格下结论：当 时，有极大值，并且极大值为 ． 当 时，有极小值，并且极小值为 ． 四、当堂训练 1、函数的导函数的图象如图所示，试找出函数的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点． 2、求下列函数的极值： （1）； （2）； （3）； （4）． 思考 1、 函数在其定义域内的极大值点和极小值点唯一吗？ 2、 区间的端点能成为极值点吗？ 3、 极大值一定大于极小值吗？ 4、导数值为0的点一定是函数的极值点吗？ 五、课堂小结 1、极值的概念 2、求函数的极值的方法： 六、课后作业 基础题 1、设函数，则（    ） A．在区间递减 B．在区间上递增 C．在点处有极大值 D．在区间上递减 2、已知函数在处有极大值，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．1或3 3、（多选）如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（    ）． A．的单调递增区间是 B．是的极小值点 C．在区间上单调递减，在区间上单调递增 D．是的极小值点 4、（多选）如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（    ）    A．的单调递增区间是 B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 5、已知函数，其导函数的图象经过点，，如图所示，则下列说法中正确结论的序号为 ．    ①当时函数取得极小值； ②有两个极值点； ③当时函数取得极小值； ④当时函数取得极大值． 6、已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间和极值． 7、若函数，为函数