11.3.1 平行直线与异面直线-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第四册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

11．3　空间中的平行关系 11．3．1　平行直线与异面直线 [课标解读]　1．了解空间平行直线的传递性．2．理解异面直线． 知识点一　平行直线 1．定义 在同一平面内不相交的两条直线称为平行直线． 2．性质 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； (2)平行于同一条直线的两条直线互相平行． 上述结论(2)通常称为空间平行线的传递性，可以用符号表示为：如果a∥b，a∥c，则b∥c． (3)等角定理 如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行， 并且方向相同，那么这两个角相等． 等角定理的推论 (1)空间中，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且对应边的方向相反，那么这两个角相等． (2)空间中，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，且一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，那么这两个角互补． (3)空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．　　 知识点二　异面直线 1．异面直线的定义 异面直线指的是空间中既不平行也不相交的直线． 学生用书第52页 2．异面直线的表示 为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示． 3．异面直线的判定方法 与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面． 知识点三　空间四边形 顺次连接不共面的4点所构成的图形称为空间四边形，其中4个点都是空间四边形的顶点，连接相邻顶点间的线段称为空间四边形的边，连接不相邻顶点间的线段称为空间四边形的对角线． 空间四边形用表示顶点的4个字母表示． 1．(2022·江苏省其他类型)若空间中两个角的两条边分别对应平行，则这两个角(　　) A．相等　　　　　　 B．互补 C．相等或互补 D．不能确定 C　[如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等； 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且一组边方向相同、一组边方向相反，那么这两个角互补；如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相反，那么这两个角相等．∴如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 故选C．] 2．下列说法中正确的是(　　) A．若两直线无公共点，则两直线平行 B．若两直线不是异面直线，则必相交或平行 C．过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内任一直线均构成异面直线 D．和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线 B　[对于A，空间两直线无公共点，则两直线可能平行，可能异面，故A不正确；对于C，过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内过该点的直线是相交直线，故C不正确；对于D，和两条异面直 线都相交的两条直线还可能是相交直线，如图的三棱锥ABCD中，l1与l2为异面直线，BC与AC均与l1，l2相交，但BC与AC也相交，故D不正确．] 3．已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是(　　) A．5 B．10 C．12 D．14 B　[如图所示，由三角形的中位线定理，可得EH綉BD，FG綉BD，所以EH綉FG，所以四边形EFGH为平行四边形，所以EG2＋HF2＝2×(12＋22)＝10，故选B．] 4．(2020·安徽省合肥市月考试卷)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB、CD、EF、GH这四条线段所在直线是异面直线的对数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 C　[ 如图所示：把展开图再还原成正方体， 由经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线可得， AB，CD，EF，GH这四条线段，它们所在直线是异面直线的有： AB和CD，AB和GH，CD和EF，CD和GH，EF和GH，共5对， 故选C ．] 5．(2021·安徽省单元测试)下列命题： ①分别在两个平面内的两条直线是异面直线； ②和两条异面直线都垂直的直线有且仅有一条； ③和两条异面直线都相交的两条直线异面或相交； ④若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c也异面． 其中真命题的个数是________． 解析：　①分别在两个平面内的两条直线不一定是异面直线，因此不正确； ②和两条异面直线都垂直的直线有无数条，因此不正确，可举例正方体中相互异面直线的棱； ③和两条异面直线都相交的两条直线异面或相交，正确； ④若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c不一定是异面直线，不正确． 其中真命题的个数是1． 故答案为1． 答案：　1 学生用书第53页 题型一　空间平行线的传递性 如图，E，F分别是长方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形． 点拨：　利用空间平行