11.2 平面的基本事实与推论-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第四册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

11．2　平面的基本事实与推论 [课标解读]　1．了解平面的基本事实．2．了解基本事实的推论． 知识点一　平面的基本事实 1．基本事实1 自然语言 图形语言 符号语言 经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面．可简单地说成“不共线的3点确定一个平面” 三点A，B，C，A直线BC有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α (1)“有且只有一个”有两层含义，“有”表示存在，“只有一个”表示唯一，所以“有且只有一个”表示存在并且唯一，这就表明这个图形是确定的，所以也可以说成“确定一个”． (2)值得注意的是，如果给定的3个点在同一直线上，那么有无数个平面通过这3个点，也就是说，此时这3个点不能“确定”一个平面． (3)基本事实1的作用：①确定平面；②证明点、线共面．　　 2．基本事实2 自然语言 图形语言 符号语言 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈α，B∈α直线ABα 学生用书第48页 (1)从集合的角度看，基本事实2可以表述为：如果一条直线(点集)上有两个点(元素)属于一个平面(点集)，那么这条直线就是这个平面的真子集．这个结论阐述了两个观点：一是整条直线在平面内；二是直线上所有点在平面内． (2)基本事实2的作用是判断直线是否在平面内，点是否在平面内，也可以用来检验面是否为平面．根据性质，如果直线上有两个点在平面内，那么这条直线在平面内，判断的关键是抓住在平面内的点的个数，因为两点确定一条直线，从而两个点就能够代表整条直线，进而可判断直线是否在平面内．　　 3．基本事实3 自然语言 图形语言 符号语言 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 A∈α，且A∈Bα∩β＝a，且A∈a 基本事实3说明，两个不重合的平面，只要有一个公共点，就一定有无数个公共点，而且这无数个公共点能组成一条直线，这条直线通常也称为两个平面的交线． (1)基本事实3反映了平面与平面的位置关系——相交，只要“两面共有一点”就有“两面共有一条直线”，且点在直线上，直线是唯一的． (2)基本事实3的作用：①判断两个平面是否相交．只要两个平面有公共点，则这两个平面就相交．②解决点在线上或点共线问题．若点是某两个平面的公共点，则该点在这两个平面的交线上．　　 知识点二　平面基本事实的推论 推论 自然语言 图形语言 推论1 经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 (1)三个推论都可看作是基本事实1的变形，它们组成了确定平面的完整体系，也是证明点、线共面的依据． (2)推论1中要注意“点必须是直线外一点”，当点在直线上时，可以确定无数个平面．　　 1．(2022·全国单元测试)若空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中(　　) A．必有三点共线　　　　　 B．必有三点不共线 C．至少有三点共线 D．不可能有三点共线 B　[空间四点A，B、C、D共面而不共线， 则至少有一点不在其余点中的两点确定的直线上， 如CAB，无论C点在何位置，C，A，B三点都不共线．] 2． (2021·福建省龙岩市期中考试)如图，α∩β＝l，A∈α，B∈α，C∈β，Cl, 直线AB∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过(　　) A．点A B．点B C．点C，但不过点D D．点C和点D D　[因为平面α∩β＝l，点A∈α，B∈α，C∈β，且Cl, 所以C∈β，且Cα， 又AB∩l＝D， 所以D∈α，D∈CD，过A、B、C三点确定的平面记作γ， 所以β∩γ为直线CD． 故选D． ] 3．下列结论不正确的是(　　) A． A∈α B． A∈l C． α∩β＝A D． ABα C　[根据点、直线、平面间的关系，点与平面间的关系应该是属于的关系，所以C选项中α∩β＝A应该是A∈(α∩β)，故C选项是错误的，故选C．] 4．如果直线a平面α，直线b平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则(　　) A．lα B．lα C．l∩α＝M D．l∩α＝N A　[∵直线a平面α，直线b平面α，M∈a，N∈b，∴M∈平面α，N∈平面α．又∵M∈l，N∈l， ∴lα．故选A．] 5．平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为________． 解析：　 如图，既与AB共面也与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1，共5条． 答案：　5 学生用书第49页 题型一　证明点共线问题 如图，△ABC在平面α外，AB∩α＝P，A