11.1.5 旋转体-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第四册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

11．1．5　旋转体 [课标解读]　1．理解圆柱、圆锥、圆台的概念．2．掌握圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积．3．理解球的有关概念．4．掌握球的表面积． 知识点一　圆柱、圆锥、圆台的有关概念 圆柱 圆锥 圆台 定义 圆柱可看成以矩形的一边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的几何体 圆锥可看成以直角三角形一直角边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的几何体 圆台可看成以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的几何体 轴 旋转轴称为旋转体的轴 高 在轴上的边(或它的长度)称为旋转体的高 底面 垂直于轴的边旋转而成的圆面称为旋转体的底面 侧面 不垂直于轴的边旋转而成的曲面称为旋转体的侧面 母线 无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都称为母线 轴截面 在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面通常简称为轴截面 图形表示 上图可表示为：圆柱OO′ 上图可表示为： 圆锥SO 上图可表示为： 圆台OO′ 圆柱、圆锥、圆台的特征性质 圆柱 圆锥 圆台 底面 两个相同的圆面，两圆所在的平面互相平行 圆面 两个半径不等的圆面，两圆所在的平面互相平行 平行于底面的截面 与底面相同的圆面，且与轴垂直 圆面，且与轴垂直 圆面，且与轴垂直 过轴的截 面(简称轴截面) 有无数个，且都是全等的矩形，一边长是底面圆的直径，另一边长等于母线长 有无数个，且都是全等的等腰三角形，腰是母线，底边是底面圆的直径 有无数个，且都是全等的等腰梯形，腰是母线，上、下底边分别是两底面圆的直径 母线 有无数条，它们相互平行且均等于高 有无数条，相交于顶点且等长 有无数条，延长后相交于一点且等长 知识点二　圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积 1．圆柱的侧面积和表面积 (1)圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如图(1)所示．设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则这个矩形的长等于圆柱底面的周长c＝2πr，宽等于圆柱的母线长l，于是可得S圆柱侧＝cl＝2πrl． (2)圆柱的表面积：S圆柱表＝2πr2＋2πrl＝2πr(r＋l)． 2．圆锥的侧面积和表面积 (1)圆锥的侧面积：圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图(2)所示．设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长c＝2πr，半径等于圆锥侧面的母线长l，于是可得S圆锥侧＝cl＝πrl． (2)圆锥的表面积：S圆锥表＝πr2＋πrl＝πr(l＋r)． 学生用书第41页 3．圆台的侧面积和表面积 (1)圆台的侧面积：圆台的侧面展开图是一个扇环，如图(3)所示．设圆台的上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l，上、下底面圆的周长分别为c′＝2πr′，c＝2πr，于是可得S圆台侧＝(c＋c′)·l＝π(r＋r′)l． (2)圆台的表面积：S圆台表＝π(r＋r′)l＋πr2＋πr′2＝π(r2＋r′2＋rl＋r′l)． 知识点三　球的有关概念 球面可以看成一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面；球面围成的几何体，称为球．球也是一个旋转体． 形成球面的半圆的圆心称为球的球心，连接球面上一点和球心的线段称为球的半径，连接球面上两点且通过球心的线段称为球的直径． 球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆． 球的结构特征 (1)球是旋转体，由球面及所围成的空间部分构成； (2)用一个平面去截球，截面都是圆面，轴截面为面积最大的截面．　　 知识点四　球的表面积 如果球的半径为R，那么球的表面积为S球＝4πR2． 有关球的表面积的几点说明 (1)球的表面是曲面，不能展开在一个平面上，因此不能用计算平面图形的面积的方法来计算球的表面积，但是由球的表面积公式求得的值是准确值，而不是近似值． (2)由球的表面积公式可知，已知球的半径可以利用公式求出它的表面积，已知球的表面积，可利用方程思想求出它的半径． (3)常用结论：两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方．　　 1．已知直角梯形ABCD，现绕着它的较长底CD所在的直线旋转一周，所得的几何体包括(　　) A．一个圆柱、一个圆锥 B．一个圆柱、两个圆锥 C．一个圆台、一个圆柱 D．两个圆柱、一个圆台 A　[直角梯形ABCD分割成一个矩形和一个直角三角形，矩形绕其一边旋转一周得圆柱，直角三角形绕其直角边旋转一周得圆锥，可得几何体为：一个圆柱、一个圆锥．故选A．] 2．下列说法中，正确的有(　　) ①圆柱的侧面展开图是一个矩形； ②圆锥的侧面展开图是一个扇形； ③圆台的侧面展开图是一个梯形； ④棱锥的侧面为三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C　[①圆柱的侧面展开图是一个