11.1.4 棱锥与棱台-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第四册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

11．1．4　棱锥与棱台 [课标解读]　1．理解棱锥、棱台的结构特征．2．掌握棱锥、棱台的表面积． 知识点一　棱锥 1．棱锥的概念 如果一个多面体有一个面是多边形，且其余各面是有一个公共顶点的三角形，则称这个多面体为棱锥． 棱锥中，是多边形的那个面称为棱锥的底面，有公共顶点的各三角形 称为棱锥的侧面，各侧面的公共顶点称为棱锥的顶点，相邻两侧面的公共边称为棱锥的侧棱，过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段(或它的长度)称为棱锥的高，如图(1)所示． 棱锥所有侧面的面积之和称为棱锥的侧面积． 棱锥的结构特征 (1)底面是多边形． (2)侧面都是三角形． (3)侧面有一个公共顶点．　　 2．棱锥的分类 棱锥可以按底面的形状分类，例如底面是三角形、四边形、五边形的棱锥，可分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥． 3．棱锥的表示 棱锥可以用顶点与底面各顶点的字母来表示．例如，如图(1)所示的是一个四棱锥，这个四棱锥可以记作棱锥P－ABCD或棱锥P－AC． 4．正棱锥 如果棱锥的底面是正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为正棱锥． 正棱锥的特征和性质 (1)只有正棱锥才有斜高． (2)正棱锥的各侧棱都相等． (3)正棱锥的顶点在底面的射影为底面(正多边形)的中心．　　 知识点二　棱台 1．棱台的概念 一般地，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台． 原棱锥的底面与截面分别称为棱台的下底面与上底面，其余各面称为棱台的侧面，相邻两侧面的公共边称为棱台的侧棱，同棱柱一样，过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱台的高，如图(2)所示． 图(2) 棱台所有侧面的面积之和称为棱台的侧面积． 学生用书第37页 棱台的结构特征 (1)上、下底面互相平行，且是相似图形． (2)各侧棱的延长线交于一点． (3)各侧面为梯形．　　 2．棱台的表示 棱台可用上底面与下底面的顶点表示，如图(2)所示的棱台可表示为棱台ABCD－A1B1C1D1． 3．棱台的分类 棱台可以按底面的形状分为三棱台、四棱台、五棱台…… 4．正棱台 由正棱锥截得的棱台称为正棱台．不难看出，正棱台上、下底面都是正多边形，两者中心的连线是棱台的高；而且，正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为棱台的斜高． 正棱台的特征和性质 (1)各侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形． (2)两底面及平行于底面的截面是相似多边形． (3)正四棱台的对角面(过棱柱或棱台的两条不相邻的侧棱的截面叫做对角面)是等腰梯形．　　 1．(2022·江苏省其他类型)如图所示，三棱台ABC－A1B1C1中，沿面A1BC截去三棱锥A1－ABC，则剩余部分是(　　) A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱台 D．四棱台 B　[三棱台ABC－A1B1C1中，截去三棱锥A1－ABC, 剩余部分是四棱锥A1－BCC1B1． 故选B．] 2．(2021·安徽省合肥市期末考试)给出下列命题： ①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； ②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台； ③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直； ④棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形． 其中正确命题的序号是(　　) A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．③ D　[①棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形； 平行四边形不一定是全等的，所以①不正确； ②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台； 必须是截面与底面平行，才能得到棱台，所以②不正确； ③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直， 比如正方体中共点的三个相邻平面，故③正确； ④由棱台的定义知棱台的侧棱延长后必交于一点， 但侧面不一定是等腰梯形，故④不正确． 故选D．] 3．(2020·湖南省衡阳市月考)观察下面的四个几何体，其中判断正确的是(　　) A．(1)是棱台 B．(2)不是棱柱 C．(3)是棱锥 D．(4)不是棱柱 C　[(1)不是棱台，因为侧棱延长线不可能交于一点；(2)是棱柱；(3)是棱锥；(4)是棱柱．故选C．] 4．已知侧棱长为2a的正三棱锥(底面为等边三角形)其底面周长为9a，则棱锥的高为(　　) A．a B．2a C．a D．a A　[如图所示： ∵正三棱锥底面周长为9a， ∴底面边长为3a, ∵正棱锥的顶点在底面上的射影为底面的中心O, ∴OA＝AD＝×3a×＝a, 在Rt△POA中，高PO＝＝＝a, 故选A．] 5．(多选)(2022·山东省单元测试)下列说法中不正确的是(　　) A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．正棱台两底面及平行于底面的截面不是相似多