11.1.3 多面体与棱柱-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第四册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

11．1．3　多面体与棱柱 [课标解读]　1．了解多面体．2．理解棱柱的结构特征．3．掌握棱柱的表面积． 知识点一　多面体的相关概念 一般地，由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为多面体，如图所示． (1)多面体的面：围成多面体的各个多边形称为多面体的面，如面ABCD，面BCC′B′． (2)多面体的棱：相邻两个面的公共边称为多面体的棱，如棱AB，棱CC′． (3)多面体的顶点：棱与棱的公共点称为多面体的顶点，如顶点A，顶点D′． (4)多面体的面对角线：一个多面体中，连接同一面上两个顶点的线段，如果不是多面体的棱，就称其为多面体的面对角线；如AC是一条面对角线． (5)多面体的体对角线：一个多面体中，连接不在同一面上两个顶点的线段称为多面体的体对角线，如体对角线BD′． (6)截面：一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部)，称为这个几何体的一个截面．图中画出了多面体的一个截面ACE． (7)多面体所有面的面积之和称为多面体的表面积(或全面积)． (1)多面体最少有四个面、四个顶点、六条棱． (2)不是所有的多面体都有体对角线，有些多面体就没有体对角线，如图(1)，(2)，(3)．但如果多面体有体对角线，就可能有多条体对角线，如图(4)，(5)，多面体的体对角线和多面体的面对角线是有区别的，所谓面对角线就是指围成多面体的面的对角线，在理解概念时要特别注意． 　　 知识点二　棱柱 1．棱柱的概念 有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体称为棱柱． 棱柱的两个互相平行的面称为棱柱的底面(底面水平放置时，分别称为上底面、下底面)，其他各面称为棱柱的侧面，两个侧面的公共边称为棱柱的侧棱，过棱柱一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱柱的高． 棱柱所有侧面的面积之和称为棱柱的侧面积． 2．棱柱的特征 棱柱有两个互相平行的面，并且夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都互相平行． 学生用书第34页 3．棱柱的表示 (1)用表示两底面的对应顶点的字母来表示． (2)用一条体对角线端点的两个字母来表示． 4．棱柱的分类 (1)按底面的形状分，例如底面是三角形、四边形、五边形的棱柱，可分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱． (2)按侧棱是否和底面垂直分类，如果棱柱的侧棱垂直于底面，则可知棱柱所有的侧面都是长方形，这样的棱柱称为直棱柱(不是直棱柱的棱柱称为斜棱柱)．特别地，底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱． 5．特殊的四棱柱 底面是平行四边形的棱柱也称为平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体．底面是矩形的直平行六面体就是以前我们学过的长方体，而棱长都相等的长方体就是正方体．它们之间的关系如下： 1．下列说法正确的是(　　) A．多面体至少有3个面 B．棱柱所有的面都是平行四边形 C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 D．六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形 D　[多面体至少有4个面，故A错误； 棱柱的底面不一定是平行四边形，故B错误； 各侧面都是正方形，底面也是正方形的四棱柱一定是正方体，故C错误； 六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形，故D正确， 故选D．] 2．(2020·山西省运城市质检)下列集合间关系不正确的是(　　) A．{正方体}{长方体} B．{长方体}{直平行六面体} C．{正四棱柱}{长方体} D．{直平行六面体}{正四棱柱} D　[因为正方体都是长方体，但长方体不一定是正方体，所以{正方体}{长方体}，故A正确； 因为底面是矩形的直平行六面体是长方体，所以{长方体}{直平行六面体}，故B正确； 因为底面是正方形的长方体为正四棱柱，所以{正四棱柱}{长方体}，故C正确； 因为正四棱柱都是直平行六面体，但直平行六面体不一定是正四棱柱，故D错误．] 3．(2022·全国月考试卷)已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其体对角线的长为(　　) A．4　　　B．　　　C．2　　　D．4 B　[设长方体的三条棱的长分别为x，y，z， 则， 所以对角线的长为＝ ＝＝． 故选B．] 4． 如图所示，在单位正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP＋D1P取得最小值，则此最小值为(　　) A．2　　　　　　　　 B． C．2＋ D． D　[ 如图所示，把对角面A1C绕A1B旋转至A1BC′D′1，使其与△AA1B在同一平面上，连接AD′1，则AD′1＝ ＝＝为所求的最小值．故选D．] 5．如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1的长、宽、高分别为2，2，1，则长方体的表面积为________，面对角线有________条，体对角线有_____