10.2.2 复数的乘法与除法-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第四册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

10．2．2　复数的乘法与除法 [课标解读]　1．掌握复数的乘法、除法．2．理解实系数一元二次方程在复数范围内的解集． 知识点一　复数的乘法 1．复数的乘法法则 一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积，并规定 z1z2＝(a＋bi)(c＋di) ＝ac＋adi＋bci＋bdi2 ＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i． 这就是说，为了算出两个复数的积，只需要按照多项式乘法的方式进行，并利用i2＝－1即可． 2．复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3，有 (1)交换律：z1z2＝z2z1； (2)结合律：(z1z2)z3＝z1(z2z3)； (3)分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3． 3．复数的乘方 n个相同的复数z相乘时，仍称为z的n次方(或n次幂)，并记作zn，即zn＝ ． 可以验证，当m，n均为正整数时，zmzn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1z2)n＝zz． 知识点二　复数的除法 1．两个复数相除的定义 如果复数z2≠0，则满足zz2＝z1的复数z称为z1除以z2的商，并记作z＝(或z＝z1÷z2)，而且同以前一样，z1称为被除数，z2称为除数． 利用复数除法的定义可以证明，当ω为非零复数时，有 ＝，＝＋． 2．复数的倒数 一般地，给定复数z≠0，称为z的倒数．z1除以z2的商也可以看成z1与z2的倒数之积．显然，利用“分母实数化”可以求出任意一个非零复数的倒数，以及任意两个复数的商(除数不能为0)．具体步骤如下： 已知z＝a＋bi(a，b∈R且a，b不同时为0)，则＝＝＝＝－i． 3．复数的除法法则 有了倒数的概念，我们就可以规定两个复数除法的运算法则如下： (a＋bi)÷(c＋di)＝＝(a＋bi)＝(a＋bi)＝＝＋i(c＋di≠0)． 4．复数的0次幂与负整数次幂 当z为非零复数，且n为正整数时，规定z0＝1，z－n＝． (1)复数的除法与实数的除法有所不同，对于实数的除法，可以直接约分化简，得出结论，但对于复数的除法，因为分母为复数，一般不能直接约分化简． (2)复数除法的一般做法：通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式，再把分子与分母同乘分母的共轭复数，最后将结果化简． (3)分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为一个实数，这与作根式除法运算时对分母进行“有理化，”的处理是类似的．　　 学生用书第23页 知识点三　实系数一元二次方程在复数范围内的解集 1．实系数一元二次方程的定义 当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0称为实系数一元二次方程． 2．方程x2＝－a(a＞0，a∈R)在复数范围内的解集 当实数a＞0时，方程x2＝－a在复数范围内的解集为{i，－i}． 3．方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，且a，b，c∈R)在复数范围内的解集 当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0称为实系数一元二次方程．这个方程在复数范围内总是有解的，而且 (1)当Δ＝b2－4ac>0时方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程有两个互为共轭的虚数根． 4．根与系数的关系 如果x1，x2为实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解，那么 1．(2022·福建省福州市水平会考)式子(1－i)(1＋i)的值为(　　) A．0 B．1 C． D．2 D　[根据复数的乘法运算，可得(1－i)(1＋i)＝1－i2＝2．] 2．(2022·湖南省联考题)若复数z满足(1＋i)z＝i，则复数z的虚部为(　　) A． B．i C．1 D．i A　[∵(1＋i)z＝i，z＝＝＝＝＋i，故复数z的虚部为．] 3．(2021·全国期末考试)已知i为虚数单位，z＝，则复数z的虚部为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 C　[∵z＝＝＝i(1－i)＝1＋i， 故该复数的虚部为1， 故选C．] 4．(2022·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市期中考试)在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D　[复数＝＝＋i， 则复数的共轭复数为－i， 在复平面内，复数的共轭复数对应点的坐标为(，－)， 故在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于第四象限． 故选D．] 5．(2021·河北省其他类型)已知复数z是一元二次方程x2－2x＋2＝0的一个根，则|z|的值为(　　) A．1 B． C．0 D．2 B　[设复数z＝a＋bi，a，b∈R，i是虚数单位， 由z是x2－2x＋2＝0的一个根， ∴(a＋bi)2－2(a＋bi)＋2＝