10.2.1 复数的加法与减法-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第四册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

10．2　复数的运算 10．2．1　复数的加法与减法 [课标解读]　1．掌握复数的加法、减法．2．了解复数加、减运算的几何意义． 知识点一　复数的加法 1．复数的加法法则 一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称z1＋z2为z1与z2的和，并规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i． 对复数的加法法则的理解 (1)复数的加法中规定：实部与实部相加，虚部与虚部相加．很明显，两个复数的和仍然是复数，但两个虚数的和不一定是虚数，如(－i)＋i＝0． (2)当b＝d＝0时，z1＝a，z2＝c，z1＋z2＝a＋c，即当两个复数为实数时，复数的加法法则与实数的加法法则一致． 学生用书第20页 (3)复数的加法法则可以推广到多个复数相加的情形：各复数的实部分别相加，虚部分别相加． (4)两个共轭复数的和一定是实数． 2．复数的加法满足的运算律 对任意复数z1，z2，z3，有 (1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1； (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 3．复数加法的几何意义 由复数与向量之间的对应关系可以得出复数加法的几何意义：如果复数z1，z2所对应的向量分别为与，则当与不共线时，以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则z1＋z2所对应的向量就是，如图所示． 由复数加法的几何意义可以得出 ||z1|－|z2||≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|． 知识点二　复数的减法 1．复数的相反数 一般地，复数z＝a＋bi(a，b∈R)的相反数记作－z，并规定－z＝－(a＋bi)＝－a－bi． 复数z1减去z2的差记作z1－z2，并规定z1－z2＝z1＋(－z2)． 在复平面内，互为相反数的两个复数对应的点关于原点对称． 2．复数的减法法则 一般地，如果z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i． 显然，两个复数的差仍然是复数．而且，同实数中的情况类似，两个复数的差一般也不满足交换律，即一般来说，z1－z2≠z2－z1． 对复数的减法法则的理解 (1)两个复数的差的实部是被减数的实部减去减数的实部，虚部是被减数的虚部减去减数的虚部． (2)两个实数的差是实数，但是两个虚数的差不一定是虚数，例如(3＋2i)－2i＝3． (3)把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加、减法类似于多项式的加、减法，只需要“合并同类项”就可以了．　　 3．复数减法的几何意义 由复数与向量之间的对应关系同样可 以得出复数减法的几何意义：如果复数z1，z2所对应的向量分别为与，设点Z满足＝，则z1－z2所对应的向量就是，如图所示． 由复数减法的几何意义可以得出 ||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|． 1．(2022·天津市单元测试)若(1－i)＋(2＋3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于(　　) A．3，－2 B．3，2 C．3，－3 D．－1，4 B　[由(1－i)＋(2＋3i)＝a＋bi(a，b∈R), 得：3＋2i＝a＋bi，所以a＝3，b＝2． 故选B．] 2．(2022·云南省单元测试)已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1－z2等于(　　) A．8i B．6 C．6＋8i D．6－8i A　[z1＝3＋4i，z2＝3－4i， 则z1－z2＝(3＋4i)－(3－4i)＝8i， 故选A．] 3．(2022·云南省单元测试)已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 C　[z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i， 故z对应的点为(－1－3)，位于第三象限． 故选C．] 4．非零复数z1，z2分别对应复平面内的向量，，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则(　　) A．＝ B．||＝|| C．⊥ D．，共线 C　[如图， 由向量的加法及减法法则可知，＝＋，＝－．由复数加法及减法的几何意义可知，|z1＋z2|对应的模，|z1－z2|对应的模． 又|z1＋z2|＝|z1－z2|，所以四边形OACB是矩形，则⊥．] 5．(2021·江西省九江市单元测试)设z＝3－4i，则复数z－|z|＋(1－i)在复平面内的对应点在第________象限． 解析：　∵z＝3－4i， ∴|z|＝5， 则复数z－|z|＋(1－i)＝3－4i－5＋1－i＝－1－5i, 则复数z－|z|＋(1－i)在复平面内的对应点的坐标为(－1，－5)，位于第三象限． 答案：　三 学生用书第21页 题型一　复数的加、减运算 (1)计算：(