10.1.2 复数的几何意义-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第四册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

10．1．2　复数的几何意义 [课标解读]　1．理解复数的几何意义．2．掌握复数的模．3．掌握共轭复数． 知识点一　复平面 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴． 知识点二　复数的几何意义 1．复数的几何意义——与点对应 每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z＝a＋bi―复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义． (1)复数的实质是有序实数对． (2)复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)．也就是说，复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i． (3)当a＝0，b≠0时，a＋bi＝0＋bi＝bi是纯虚数，所以虚轴上的点(0，b)(b≠0)都表示纯虚数． (4)“复数z＝a＋bi”中的z，书写时应小写；“复平面内的点Z(a，b)”中的Z，书写时应大写．　　 2．复数的几何意义——与向量对应 因为平面直角坐标系中的点Z(a，b)能唯一确定一个以原点O为始点、Z为终点的向量，所以复数也可用向量来表示，这样一来也就能在复数集与平面直角坐标系中以O为始点的向量组成的集合之间建立一一对应关系，即复数z＝a＋bi向量＝(a，b)． 根据复数与复平面内的点一一对应，复数与平面向量一一对应，可知复数z＝a＋bi、复平面内的点Z(a，b)和平面向量之间的关系可用右图表示．　　 学生用书第17页 知识点三　共轭复数 定义 如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数．复数z的共轭复数用z表示，因此，当z＝a＋bi(a，b∈R)时，有z＝a－bi 几何意义 在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数 图示 (1)虚部不等于0的两个共轭复数也称为共轭虚数． (2)当复数为实数时，它的共轭复数就是它本身，反之，若一个复数的共轭复数是它本身，则它是一个实数，即z为实数z＝．　　 知识点四　复数的模 一般地，向量＝(a，b)的长度称为复数z＝a＋bi的模(或绝对值)，复数z的模用|z|表示，因此|z|＝． 可以看出，当b＝0时，|z|＝＝|a|，这说明复数的模是实数绝对值概念的推广． 一般地，两个共轭复数的模相等，即|z|＝||． (1)复数的模是一个非负实数，任意两个复数的模可以比较大小． (2)复数的模的几何意义：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|表示复数z在复平面内对应的点Z(a，b)到原点的距离．类比向量的模可作推广：|z1－z2|表示点Z1和点Z2之间的距离． (3)复数的模、复数在复平面内对应的点到原点的距离、复数所对应向量的模三者是相等的．　　 1．(2022·全国月考试卷)i是虚数单位，复数z＝1－i在复平面上对应的点位于(　　) A．第一象限　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D　[复数z＝1－i在复平面上对应的点的坐标为(1，－1)，位于第四象限． 故选D．] 2．已知复数z＝x＋1＋(y－1)i在复平面内的对应点位于第二象限，则点(x，y)所构成的平面区域是(　　) A　[由题意得即故点(x，y)所构成的平面区域为选项A中的阴影部分．] 3．(2022·江西省历年真题)设z＝－3＋2i，则在复平面内z对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 C　[∵z＝－3＋2i， ∴＝－3－2i， ∴在复平面内对应的点为(－3，－2)，在第三象限． 故选C．] 4．(2022·云南省单元测试)若z＝4＋3i，则＝(　　) A．1 B．－1 C．＋i D．－i D　[由z＝4＋3i得＝4－3i， 则＝＝＝－i． 故选D．] 5．(2022·全国月考试卷)在复平面内，若O(0，0)，A(2，－1)，B(1，4)，＝，点C所对应的复数为________． 解析：　因为＝， 所以＝＋＝(2，－1)＋(1，4)＝(3，3), 故点C对应的复数为3＋3i． 故答案为3＋3i． 答案：　3＋3i 学生用书第18页 题型一　复数与复平面内的点的一一对应 实数x取什么值时，复平面内表示复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i的点Z： (1)位于第三象限？ (2)位于直线x－y－3＝0上？ 点拨：　把点的对应关系转化为实部与虚部应满足的条件． 解析：　根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i的点为Z(x2＋x－6，x2－2x－15)． (1)由点Z位于第三象限，得 即