10.1.1 复数的概念-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第四册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

10．1　复数及其几何意义 10．1．1　复数的概念 [课标解读]　1．理解复数的概念．2．掌握复数的相等． 知识点一　复数的概念 1．虚数单位 一般地，为了使得方程x2＝－1有解，人们规定i的平方等于－1，即i2＝－1，并称i为虚数单位． 2．复数的概念 引进虚数单位i后，需要定义虚数单位与实数之间的运算，而且这种运算还得保持以前的运算律(如加法交换律、乘法交换律等)均成立．实数a与i的和记作a＋i，且实数0与i的和为i；实数b与i的积记作bi，且实数0与i的积为0，实数1与i的积为i． 一般地，当a与b都是实数时，称a＋bi为复数．复数一般用小写字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a称为z的实部，b称为z的虚部，分别记作Re(z)＝a，Im(z)＝b． 所有复数组成的集合称为复数集，复数集通常用大写字母C表示，因此C＝{z|z＝a＋bi，a，b∈R}． 不难看出，任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0的复数实际上是一个实数．特别地，称虚部不为0的复数为虚数，称实部为0的虚数为纯虚数． (1)设复数z＝a＋bi(a，b∈R)时，一定要有a，b∈R，否则不能说实部为a，虚部为b； (2)虚部是复数代数形式中i的实数系数，不含i，不能说虚部为bi，也不能说虚部系数为b．　　 知识点二　复数的分类 　复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以分为两大类——实数和虚数，具体如下： 复数z 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用如图表示． (1)复数不能比较大小，若两个复数可以比较大小，则这两个复数必定都是实数； (2)a＋bi＝0(a，b∈R)a＝b＝0．　　 知识点三　复数相等 　两个复数z1与z2，如果实部与虚部都对应相等，我们就说这两个复数相等，记作z1＝z2． 学生用书第14页 这就是说，如果a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋dia＝c且b＝d． 特别地，当a，b都是实数时，a＋bi＝0的充要条件是a＝b＝0． (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)若是虚数，只需b≠0； (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)若是实数，只需b＝0； (3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)若是纯虚数，需a＝0且b≠0．　　 1．下列说法正确的个数是(　　) (1)实数是复数；(2)虚数是复数； (3)实数集和虚数集的交集不是空集； (4)实数集与虚数集的并集等于复数集． A．1 B．2 C．3 D．4 C　[实数集和虚数集的交集是空集，故(3)错误；(1)(2)(4)正确．] 2．(2022·浙江省单元测试)已知a，b∈R，若a2－b＋(a－b)i>2(i为虚数单位)，则a的取值范围是(　　) A．a>2或a<－1 B．a>1或a<－2 C．－1<a<2 D．－2<a<1 A　[因为a，b∈R，若a2－b＋(a－b)i>2(i为虚数单位)， 所以故可得a2－a－2>0， 分解因式可得(a＋1)(a－2)>0， 解得a>2或a<－1． 故选A．] 3．(2022·河北省单元测试)已知a∈R，若a－1＋(a－2)i(i为虚数单位)是实数，则a＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 C　[a∈R，若a－1＋(a－2)i(i为虚数单位)是实数， 可得a－2＝0，解得a＝2． 故选C．] 4．(2022·河北省单元测试)复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i(a∈R)为纯虚数，则a的取值是(　　) A．3 B．－2 C．－1 D．1 D　[∵z＝(a2－1)＋(a＋1)i是纯虚数， ∴a2－1＝0，且a＋1≠0，解得a＝1， ∴a的取值是1．故选D．] 5．(2020·江苏省南京市单元测试)若实数x，y满足x＋yi＝－1＋(x－y)i(i是虚数单位)，则xy＝________． 解析：　由x＋yi＝－1＋(x－y)i， 则解得 所以xy＝， 故答案为． 答案：　 题型一　复数的基本概念 若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为(　　) A．－2 B． C．－ D．2 点拨：　根据复数的概念进行解答． D　[复数2－bi(b∈R)的实部为2，虚部为－b，因为该复数的实部与虚部互为相反数，则2＋(－b)＝0，所以b＝2．] 在理解和应用复数概念时，一定要明确复数实部和虚部的定义、复数的代数形式，根据题意，得出结论．　　 即时练1．以－＋2i的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的复数是(　　) A．2－2i B．2＋2i C．－＋i D．＋i A　[－＋2i的虚部为2，i＋2i2＝－2＋i的实部为－2，所以所求复数实部为2，虚部为－2，即为2－2i．] 题型二　复数的分类 已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时， (1)z为实数？(2