8.2.4 三角恒等变换的应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

8．2．4　三角恒等变换的应用 [课标解读]运用两角和与差的三角函数公式及二倍角公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)． 知识点一　半角公式 “半角公式” 无理半角常戴帽，象限确定帽前号； 数1余弦加减连，角小值大用加号． “角小值大用加号”即y＝1＋cos α(α是锐角)是减函数，角小值大，因此用“＋”号，而y＝1－cos α为增函数，角大值大，因此用“－”号．　　 知识点二　积化和差、和差化积公式 1．积化和差公式： sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)]， cos αsin β＝[sin (α＋β)－sin (α－β)]， cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)]， sin αsin β＝－[cos (α＋β)－cos (α－β)]． 2．和差化积公式： sin x＋sin y＝2sin cos ， sin x－sin y＝2cos sin ， cos x＋cos y＝2cos cos ， cos x－cos y＝－2sin sin ． 1．(2021·江苏省扬州市期中考试)若θ∈，sin 2θ＝，则sin θ＝(　　) A． B． C． D． D　[因为θ∈，所以，2θ∈ 即cos 2θ＝－＝－， sin θ＝＝， 故选D．] 2．若cos α＝，且α∈(0，π)，则cos ＋sin 的值为(　　) A． B． C． D． B　[∵cos α＝，且α∈(0，π)， ∴∈(0，) ∴cos ＝＝＝＝， sin ＝＝＝． ∴cos ＋sin ＝＋＝． 故选B．] 3．cos 23°－cos 67°＋2sin 4°cos 26°＝(　　) A．－ B． C．－ D． B　[cos 23°－cos 67°＋2sin 4°cos 26° ＝2sin 45°sin 22°＋(sin 30°－sin 22°) ＝sin 22°＋－sin 22°＝． 故选B．] 4．已知cos (α＋β)cos (α－β)＝，则cos2α－sin2β的值为(　　) A．－ B．－ C． D． C　[因为cos (α＋β)cos (α－β)＝(cos 2α＋cos 2β)＝cos2α－sin2β，所以cos2α－sin2β＝．] 5．若3sinx－cos x＝2sin (x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________． 解析：　∵3sin x－cos x ＝2＝2sin ， 因φ∈(－π，π)，∴φ＝－． 答案：　－ 学生用书第60页 题型一　半角公式的应用 (1)求值：sin ＝________；cos ＝________； (2)＋2的化简结果是________． 点拨：　是的半角，4是8的半角，利用半角公式求值． 解析：　(1)sin ＝ ＝ ＝； cos ＝ ＝ ＝． (2)原式＝＋2 ＝2|cos4|＋2|sin 4|＝－2cos 4－2sin 4． 答案：　(1)　 (2)－2cos 4－2sin 4 解决给值求值问题的思路方法 已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为： (1)先化简已知或所求式子； (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值．　　 即时练1．已知cos α＝，<α<2π，求sin ，cos ，tan ． 解析：　∵<α<2π， ∴<<π， ∵cos α＝， ∴sin ＝＝＝， cos ＝－＝－＝－， tan ＝－＝－＝－． 题型二　和差化积、积化和差公式的应用 求下列各式的值： (1)cos 40°＋cos 80°＋cos 160°； (2)sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°； (3)sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°． 点拨：　(1)对于40°，80°，160°三个角，我们发现＝60°(特殊角)，与160°互补，所以我们可以利用和差化积公式求解． (2)以构造特殊角为前提，利用积化和差公式求解． (3)思路一，先利用倍角公式与积化和差公式展开，整理后再利用和差化积公式即可求解；思路二，先将后两个式子提取公因式，再利用积化和差与和差化积公式进行求解；思路三，构造特殊等式求解． 解析：　(1)原式＝2cos cos －cos 20°＝2cos 60°cos 20°－cos 20°＝cos 20°－cos 20° ＝0． (2)原式＝cos 10°cos 30°cos 50°cos 70° ＝cos 1