8.2.3 倍角公式-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

8．2．3　倍角公式 [课标解读]1．二倍角的正弦、余弦、正切公式；2．倍角公式的应用． 知识点一　二倍角公式 记法 公式 推导 S2α sin 2α＝2sin_αcos_α S(α＋β)S2α C2α cos 2α＝cos2α－sin2α C(α＋β)C2α cos 2α＝1－2sin2α cos 2α＝2cos2α－1 利用cos2α＋sin2α＝1 消去sin2α或cos2α T2α tan 2α＝ T(α＋β)T2α 知识点二　二倍角公式的变形 1．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α； 1－cos2α＝2sin2α． 2．降幂公式：cos2α＝； sin2α＝． 细解“倍角公式” (1)要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义． (2)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍……这里蕴含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的． (3)注意倍角公式的灵活运用，要会正用、逆用、变形用．　　 1．(2022·上海市市辖区月考试卷)若sin α＝，则cos 2α＝(　　) A． B． C．－ D．－ B　[∵sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝． 故选B．] 2．sin15°cos 15°的值等于(　　) A． B． C． D． B　[原式＝×2sin 15°cos 15°＝×sin 30°＝．] 3．(2022·江苏省月考试卷)已知α是第二象限角，且sin α＝，则sin 2α＝(　　) A． B． C．－ D．－ D　[α是第二象限角，且sin α＝， 所以cos α＝－＝－， 则sin2α＝2sin αcos α＝2××(－)＝－． 故选D．] 4．(2021·全国期末考试)已知sin x－2cos x＝0，则tan 2x＝(　　) A．－ B． C．－ D． C　[由sin x－2cos x＝0⇒tan x＝2， 则tan 2x＝＝－， 故选C．] 5．等于________． 解析：　原式＝＝＝． 答案：　 题型一　二倍角的正用、逆用 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1)若sin θ＝，θ∈(，π)，则sin 2θ＝(　　) A．－ B． C．－ D． (2)计算：cos 20°cos 40°cos 80°＝________； (3)计算：＝________． 点拨：　(1)sin 2θ＝2sin θcos θ． (2)构造二倍角的正弦公式，分母视为1，分子分母同时乘以2 sin 20°． 学生用书第57页 (3)运用二倍角的正切化简求值． 解析：　(1)因为sin θ＝，θ∈(，π)， 所以cos θ＝－＝－， 则sin2θ＝2sin θcos θ＝2××(－)＝－．故选A． (2)原式＝ ＝ ＝＝＝． (3)原式＝＝＝2． 答案：　(1)A　(2)　(3)2 应用二倍角公式化简(求值)的策略 (1)化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异． (2)公式逆用：主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，cos α＝，cos2α－sin2α＝cos2α，＝tan2α．　　 即时练1．求下列各式的值． (1)2sin 67°30′cos 67°30′； (2)cos2－sin2； (3)2cos2－1； (4)1－2sin275°． 解析：　(1)2sin 67°30′cos 67°30′＝sin 135°＝sin(180°－45°)＝sin 45°＝． (2)cos2－sin2＝cos(2×)＝cos ＝； (3)2cos2－1＝cos(2×)＝cos ＝； (4)1－2sin275°＝cos (2×75°)＝cos 150°＝cos (180°－30°)＝－cos 30°＝－． 题型二　根据条件求值 (1)若＝，则tan 2α＝(　　) A．－ B． C．－ D． (2)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α＝(　　) A．－ B．－ C． D． 点拨：　 (1)→→ (2)将已知式平方可得sin 2α，结合α为第二象限角可求cos α－sin α，从而利用cos 2α＝cos2α－sin