8.2.1 两角和与差的余弦-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

8．2　三角恒等变换 8．2．1　两角和与差的余弦 [课标解读]1．两角差的余弦公式；2．两角和的余弦公式． 知识点一　两角差的余弦公式 对于任意角α，β有cos_(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β． 此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦值与其差角α－β的余弦值之间的关系，称为两角差的余弦公式，简记为Cα－β． (1)有了公式Cα－β，我们只要知道cos α，cos β，sin α，sin β的值，就可以求得cos (α－β)的值． (2)cos (α－β)＝cos α－cos β一般不成立，但在特殊情况下也可能成立，例如，当α＝0°，β＝60°时，cos (0°－60°)＝cos 0°－cos 60°．　　 知识点二　两角和的余弦公式 对于任意α、β有cos_(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β． 此公式即为两角和的余弦公式，记为Cα＋β． 学生用书第50页 两角和与差的余弦公式的结构特征 比较公式Cα＋β和Cα－β，可得二者的结构特征： 两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”． (1)“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦； (2)“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和的余弦展开后两项之间用“－”，两角差的余弦展开后两项之间用“＋”．　　 1．(2021·云南省单元测试)cos 72°cos 12°＋sin 72°·sin 12°＝(　　) A．－ B． C．－ D． B　[ cos 72°cos 12°＋sin 72°sin 12° ＝cos (72°－12°)＝cos 60°＝，故选B．] 2．(2021·广东省单元测试)cos 15°的值为(　　) A． B． C． D． B　[cos 15°＝cos (45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝×＋×＝．故选B．] 3．(2021·安徽省入学测验)cos 50°cos 10°－sin 50°·sin 170°＝(　　) A．cos 40° B．sin 40° C． D． C　[cos 50°cos 10°－sin 50°sin 170°＝cos 50°cos 10°－sin 50°sin 10° ＝cos 60°＝． 故答案选C．] 4．(2021·江苏省单元测试)计算cos 20°cos 80°＋sin 160°cos 10°＝(　　) A． B． C．－ D．－ A　[cos 20°cos 80°＋sin 160°cos 10° ＝cos 20°cos 80°＋sin 20°sin 80° ＝cos (80°－20°)＝cos 60° ＝．故选A．] 5．(2021·全国月考试卷)已知α是锐角，sin α＝，则cos (－α)＝__________． 解析：　因为α是锐角，sin α＝， 所以cos α＝， 所以cos (－α)＝cos cos α＋sin sin α ＝×＋×＝， 故答案为． 答案：　 题型一　运用公式化简求值 化简求值： (1)cos 63°sin 57°＋sin 117°sin 33°； (2)cos (α－β)cos β－sin (α－β)sin β． 点拨：　(1)由117°＝180°－63°，57°＝90°－33°，利用诱导公式化成同角． (2)利用公式求值． 解析：　(1)原式＝cos 63°cos 33°＋sin 63°sin 33°＝cos (63°－33°)＝cos 30°＝． (2)原式＝cos [(α－β)＋β]＝cos α． 两角和与差的余弦公式常见题型及解法 (1)两特殊角之和与差的余弦值，利用两角和与差的余弦公式直接展开求解． (2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角和与差的余弦公式求解． (3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的和或差，然后利用两角和与差的余弦公式求解．　　 即时练1．求值： (1)cos 75°＝________； (2)计算cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝ ________． 解析：　(1)cos 75°＝cos (45°＋30°)＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°＝×－×＝． (2)因为cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝cos (75°－15°)＝cos 60°＝． 故答案为． 答案：　(1)　(2) 题型二　给