8.1.3 向量数量积的坐标运算-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

8．1．3　向量数量积的坐标运算 [课标解读]1．数量积的坐标表示；2．两个向量夹角的坐标运算；3．平面向量垂直的坐标表示． 知识点一　向量数量积的坐标表示 由向量坐标的定义可知，存在单位正交基底{e1，e2}，使得a＝x1e1＋y1e2，b＝x2e1＋y2e2，因此a·b＝(x1e1＋y1e2)·(x2e1＋y2e2)＝x1x2e1·e1＋x1y2e1·e2＋y1x2e2·e1＋y1y2e2·e2＝x1x2＋y1y2，从而a·b＝x1x2＋y1y2．即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． (1)公式a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解． (2)当x1x2＋y1y2＜0时，θ∈；当x1x2＋y1y2＞0时，θ∈；当x1x2＋y1y2＝0时，θ＝．因此可以用向量数量积的坐标形式判断夹角的范围、三角形的形状等． 知识点二　向量的模与夹角的坐标表示 1．向量模的公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝． 两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝． 2．向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，cos 〈a，b〉＝＝ ． 已知两个非零向量的坐标，就可以利用该公式求得两个向量的夹角，因为向量的夹角范围为[0，π]，所以不存在讨论角的终边所在象限的问题．　　 知识点三　用向量的坐标表示两个向量垂直的条件 已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，由于a⊥b⇔a·b＝0，故a·b＝x1x2＋y1y2＝0，即a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0． 即两个向量垂直的等价条件是它们相应坐标乘积的和为0． (1)已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b与a⊥b的坐标表示如下： a∥b⇔x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0； a⊥b⇔x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0． 两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反． (2)垂直向量的坐标之间的关系：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)为坐标平面内的三个点，则⊥⇔·＝0⇔(x3－x1)(x2－x1)＋(y3－y1)(y2－y1)＝0．　　 1．(2021·浙江省期中考试)若向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，则a·b＝(　　) A．－4 B．－2 C．2 D．4 D　[a·b＝－2＋6＝4．故选D． ] 2．(2022·云南省单元测试)若向量a＝(x，2)，b＝(－1，3)，且a·b＝3，则x＝(　　) A．－3 B．3 C． D．－ B　[因为向量a＝(x，2)，b＝(－1，3)，且a·b＝3， 所以－x＋6＝3，解得x＝3． 故选B．] 3．(2021·安徽省单元测试)设向量a＝(0，2)，b＝(，1)，则a，b的夹角等于(　　) A． B． C． D． A　[∵a＝(0，2)，b＝(，1)， ∴a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝0×＋2×1＝2 ， 又|a|＝|b|＝2， ∴cos 〈a，b〉＝＝， 又〈a，b〉∈[0，π] ， ∴〈a，b〉＝． 故选A．] 4．已知a＝(1，)，b＝(－2，0)，则|a＋b|＝________． 解析：　因为a＋b＝(－1，)，所以|a＋b|＝＝2． 答案：　2 5．(2022·山东省专项测试)已知平面向量a＝(4，3)，2a－b＝(2，－2)，则a与b的夹角余弦值等于________． 解析：　因为a＝(4，3)，2a－b＝(2，－2)， 设b＝(x，y)，所以2a－b＝(8－x，6－y)＝(2，－2)⇒x＝6，y＝8⇒b＝(6，8)， 所以cos 〈a，b〉＝＝＝． 故答案为． 答案：　 学生用书第48页 题型一　向量数量积的坐标运算 考点1　向量数量积的简单运算 已知a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，求(3a－b)·(a－2b)． 点拨：　 思路二　→ 解析：　方法一　(3a－b)·(a－2b)＝3a2－7a·b＋2b2． ∵a·b＝2×3＋(－1)×(－2)＝8， a2＝22＋(－1)2＝5，b2＝32＋(－2)2＝13， ∴(3a－b)·(a－2b)＝3×5－7×8＋2×13＝－15． 方法二　∵a＝(2，－1)，b＝(3，－2)， ∴3a－b＝(