8.1.2 向量数量积的运算律-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

8．1．2　向量数量积的运算律 [课标解读]平面向量数量积的运算律． 知识点一　向量数量积的运算律 已知向量a，b，c和实数λ，则有 1．a·b＝b·a(交换律)． 2．λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)(数乘结合律)． 结合律说明：数乘以向量的数量积，可以与任意一个向量交换结合． 3．(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． (1)已知实数a，b，c(b≠0)则ab＝bc⇒a＝c．但对于向量的数量积，该推理不正确，即a·b＝b·c⇒/ a＝c．因为a·b＝b·c(b≠0)表示向量c，a在向量b方向上的投影的数量相等，并不能说明a＝c．如图所示，虽然a·b＝b·c，但a≠c． (2)对于实数a，b，c，有(a·b)c＝a(b·c)．但对于向量a，b，c，(a·b)c＝a(b·c)未必成立．这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)未必成立．　　 知识点二　向量数量积的常用结论 实数中的某些公式“移植”到向量数量积的运算中仍然成立，下表为多项式中的一些公式与相应的向量数量积公式的对照，方便理解记忆． 多项式中的公式 向量数量积公式 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2a·b＋b2 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)·(a－b)＝a2－b2 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a a2＋b2＝0⇔a＝b＝0 a2＋b2＝0⇔a＝b＝0 (a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2) (a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2) ||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|(当且仅当ab≤0时左边等号成立，ab≥0时右边等号成立) ||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|(当且仅当a与b同向共线时右边等号成立，a与b反向共线时左边等号成立) 1．已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|等于(　　) A．14 B． C．4 D．2 B　[a，b，c是两两垂直的单位向量， 所以a2＝b2＝c2＝1，且a·b＝b·c＝a·c＝0， |a－2b＋3c|＝ ＝＝．故选B．] 2．(2022·四川省内江市月考试卷)已知向量a与b的夹角为，且|a|＝2|b|＝2，则a·b＝(　　) A． B．1 C．2 D．2 A　[由已知可得：|a|＝2，|b|＝1， 则a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝2×1×cos ＝，故选A．] 3．下列命题中正确的个数是(　　) ①＋＝0；②0·＝0；③a与b共线，则a·b＝|a||b|；④(a·b)c＝a(b·c)；⑤若a·b＝0，则a＝0或b＝0；⑥若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)． 学生用书第44页 A．1 B．2 C．3 D．4 A　[∵＝－，∴＋＝－＋＝0，故①正确； 两个向量的数量积是一个具体的数，故②错误； 当a与b共线，且方向相反时，a·b＝－|a||b|，故③错误； 当c与a不共线，且a·b≠0，b·c≠0时，(a·b)c≠a(b·c)，故④错误； 当a⊥b时a·b＝0，故命题⑤错误； 若a·b＝a·c，则a·(b－c)＝0，有a＝0或a⊥(b－c)，故命题⑥不正确． 故正确命题的个数是1．] 4．(2022·海南省期中考试)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° C　[由题意(2a＋b)·b＝0 ∴2a·b＋b2＝0，即2|a||b|cos 〈a，b〉＋b2＝0, 又|a|＝|b| ∴cos 〈a，b〉＝－， ∴则a与b的夹角为120°．故选C．] 5．(2022·浙江省台州市期中考试)已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________． 解析：　|5a－b|＝＝ ＝ ＝ ＝7． 故答案为7． 答案：　7 题型一　平面向量数量积的计算 考点1　向量数量积的简单计算 已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求： (1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)； (4)|a＋b|． 点拨：　依据数量积、模、夹角的定义逐一进行计算即可． 解析：　(1)a·b＝|a||b|cos 120°＝2×3×