8.1.1 向量数量积的概念-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

8．1　向量的数量积 8．1．1　向量数量积的概念 [课标解读]1．平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积；2．向量投影的概念以及投影向量的意义；3．会用数量积判断两个向量的垂直关系． 知识点一　两个向量的夹角 定义 前提　给定两个非零向量a和b 作法　在平面内任选一点O，作＝a，＝b 夹角：称[0，π]内的∠AOB为向量a与b的夹角，记作〈a，b〉 结论 〈a，b〉＝〈b，a〉，0≤〈a，b〉≤π 当〈a，b〉＝时，称向量a与b垂直，记作a⊥b，规定零向量与任意向量垂直 知识点二　向量的数量积 定义 当a与b都是非零向量时，称|a||b|cos 〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos_〈a，b〉 规定：当a与b至少有一个是零向量时，称它们的数量积为0 性质 |a·b|≤|a||b| a·a＝|a|2，即|a|＝ a和b垂直的充要条件是它们的数量积为0，即a⊥b⇔a·b＝0 (1)学习向量的数量积定义要借助物理中力所做的功来加深理解． (2)向量a，b的数量积只能表示为a·b，不能表示为a×b或ab． (3)由定义可知，两个非零向量a与b的数量积是一个实数，a·b的符号由cos 〈a，b〉决定，即　　 由〈a，b〉的大小决定．也就是说，两个非零向量的数量积既可以是正数，也可以是零，还可以是负数．这与向量的加法、减法以及数乘向量的结果仍是一个向量不同． (4)在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是0°≤θ≤180°． 知识点三　向量的投影与向量数量积的几何意义 1．作法：设非零向量＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′，B′． 2．结论：称向量为向量a直线l上的投影向量或投影． 3．投影的数量：如果a，b都是非零向量，则称|a|cos 〈a，b〉为向量a在向量b上的投影的数量． 4．向量数量积的几何意义：两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积． 学生用书第41页 (1)设非零向量a与b的夹角是θ，则a在b方向上的投影的数量也可以写成，它的符号取决于角θ的余弦值． (2)按照投影的定义，非零向量b在a方向上的投影的数量为|b|cos θ(θ是a与b的夹角)，其具体情况，我们可以借助下面的图形进行分析： θ的 范围 θ＝0° 0°＜θ ＜90° θ＝90° 90°＜θ ＜180° θ＝180° 图形 b在a 方向上 的投影 的数量 正数 正数 0 负数 负数 　　 1．若e1，e2是两个互相平行的单位向量，则下列判断正确的是(　　) A．e1·e2＝1 B．e1·e2＝－1 C．e1·e2＝±1 D．|e1·e2|<1 C　[因为e1，e2是两个互相平行的单位向量，则当e1，e2方向相同时，e1·e2＝|e1||e2|cos 0°＝1； 当e1，e2方向相反时，e1·e2＝|e1||e2|cos 180°＝－1．综上所述，得e1·e2＝±1．] 2．(2021·广东省单元测试)若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角θ为45°，则m·n等于(　　) A．12 B．12 C．－12 D．－12 B　[由已知有m·n＝|m|·|n|cos 45° ＝4×6×＝12．故选B．] 3．(2021·辽宁省抚顺市单元测试)已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3，且|a|＝2，则向量b在a上的投影数量为(　　) A．1 B． C．－ D．－1 C　[∵a·(a＋b)＝3， ∴a·a＋a·b＝3，已知|a|＝2，a·a＝4， ∴a·b＝－1．|b|cos 〈a，b〉＝＝－．故选C．] 4．已知|a|＝5，|b|＝3，且a·b＝－12，则cos 〈a，b〉的值为(　　) A．－ B．－4 C．－ D． C　[由题意可知cos 〈a，b〉＝＝－＝－．] 5．若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与b的夹角为______． 解析：　如图，向量－a与a互为相反向量，所以向量－a与b的夹角为120°． 答案：　120° 题型一　求两向量的数量积 已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积． 点拨：　a·b分同向和反向两种情况再利用数量积公式求解． 解析：　(1)当a∥b时，若a与b同向，则〈a，b〉＝0°， a·b＝|a|·|b|cos 0°＝4×5＝20； 若a与b反