7.3.5 已知三角函数值求角-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

7．3．5　已知三角函数值求角 [课标解读]能利用三角函数的值或值的范围求角的值或值的范围． 知识点一　反三角函数的定义 在数学中，任意给定一个y∈[－1，1]，当sin x＝y且x∈时，通常记作x＝arcsin y． 因此，不难知道arcsin ＝，arcsin ＝－，arcsin 1＝． 类似地，我们有： 在区间[0，π]内，满足cos x＝y(y∈[－1，1])的x只有一个，这个x记作arccos y，即x＝arccos y； 在区间内，满足tan x＝y(y∈R)的x只有一个，这个x记作arctan y，即x＝arctan y． 知识点二　反三角函数的图象和性质 y＝arcsin x y＝arccos x y＝arctan x 定义域 [－1，1] [－1，1] R 值域 [0，π] 单调性 在[－1，1]上单调递增，无减区间 在[－1，1]上单调递减，无增区间 在R上单调递增，无减区间 奇偶性 奇函数 既不是奇函数，也不是偶函数 奇函数 函数 运算 公式1 arcsin (－x)＝－arcsin x， x∈[－1，1] arccos (－x)＝π－arccos x， x∈[－1，1] arctan (－x)＝ －arctan x，x∈R 运算 公式2 arcsin (sin x)＝x， x∈ arccos (cos x)＝x， x∈[0，π] arctan (tan x)＝x， x∈ 运算 公式3 sin (arcsin x)＝x， x∈[－1，1] cos (arccos x)＝x，x∈[－1，1] tan (arctan x)＝x，x∈R 运算 公式4 arcsin x＋arccos x＝，x∈[－1，1] arctan x＋arctan ＝，x≠0 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2021·全国单元测试)已知cos x＝－，π<x<2π，则x＝(　　) A． B． C． D． B　[∵x∈(π，2π)且cos x＝－，∴x＝ ．故选B．] 2．(2021·全国单元测试)方程sin x＝－的解为(　　) A．x＝kπ＋(－1)k·，k∈Z B．x＝2kπ＋(－1)k·，k∈Z 学生用书第38页 C．x＝kπ＋(－1)k＋1·，k∈Z D．x＝2kπ＋(－1)k＋1·，k∈Z C　[由sin x＝－，可得x＝2kπ－(k∈Z)，或x＝2kπ－＝(2k－1)π＋，k∈Z，即x＝kπ＋(－1)k＋1·，k∈Z，故选C．] 3．(2021·江苏省单元测试)不等式cos x<0(x∈[0，2π))的解集为 (　　) A．(0，π) B．(，π) C．(，) D．(π，2π) C　[不等式cos x<0的解集是； 又x∈[0，2π)， 所以不等式cos x<0(x∈[0，2π))的解集为(，) ．故选C．] 4．以下各式中错误的是(　　) A．arcsin 1＝ B．arccos (－1)＝π C．arctan 0＝0 D．arccos 1＝2π D　[arcsin x∈，arccos x∈[0，π]，arctan x∈，故arccos 1＝0．] 5．(2021·江苏省南通市同步练习)在[0，2π]上，使cos x≤－成立的x的取值集合为________． 解析：　因为cos x≤－，所以x∈，k∈Z， 又因为x∈[0，2π]， 所以x的取值集合为． 故答案为． 答案：　 题型一　已知特殊角的三角函数值求角 已知sin ＝，x∈R，求角x的取值集合． 点拨：　已知ωx＋φ的一个三角函数值及x的范围求角x的取值集合，可以先由x的范围确定ωx＋φ的范围，然后求出满足题意的角的集合；也可以把ωx＋φ看成任意角，先求出所有角，再根据x的范围确定所求角的取值集合． 解析：　方法一　由sin ＝＞0可知，角x＋对应的正弦线方向朝上，且长度为． 作出示意图如图所示． 由图可知角x＋的终边可能是OP，也可能是OP′． 又sin ＝sin ＝， 所以x＋＝2kπ＋或x＋＝2kπ＋，k∈Z，即x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z． 所以角x的取值集合为 　 方法二　作出y＝sin x在[0，2π]上的图象及直线y＝，如图所示，由图可知sin ＝sin ＝， 所以x＋＝2kπ＋或x＋＝2kπ＋，k∈Z，即x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z． 所以角x的取值集合为 ．