7.3.4 正切函数的性质与图象-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

7．3．4　正切函数的性质与图象 [课标解读]1．借助图象理解正切函数在上的性质；2．能利用有关知识解决图象变换、函数最值等问题． 知识点　函数y＝tan x的性质与图象 解析式 y＝tan_x 图象 定义域 值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数 单调性 在开区间，k∈Z上都是增函数 零点 x＝kπ(k∈Z) 对称性 无对称轴； 对称中心：(，0)(k∈Z) (1)正切函数在定义域上不具备单调性，但在每一个开区间(k∈Z)内是增函数．不能说函数在其定义域内是单调递增函数． (2)正切函数无单调递减区间，在每一个单调区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间． (3)正切曲线在x轴上方的部分下凸，在x轴下方的部分上凸，画图时，要注意曲线的光滑性及凸凹性． (4)正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．这些平行直线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交．　　 1．下列说法正确的是(　　) A．y＝tan x是增函数 B．y＝tan x在第一象限是增函数 C．y＝tan x在某一区间上是减函数 D．y＝tan x在区间(k∈Z)上是增函数 D　[由正切函数的图象可知D正确．] 2．(2022·云南省单元测试)函数f(x)＝tan (πx＋)的最小正周期是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 A　[∵f(x)＝tan (πx＋)， ∴其最小正周期为T＝＝＝1．故选A．] 3．(2022·云南省单元测试)已知函数y＝tan (x＋)，则其定义域是(　　) A．(k∈Z) B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．(k∈Z) C　[要使函数有意义，则x＋≠kπ＋，(k∈Z)， 得x≠＋2kπ，(k∈Z)， 即定义域为(k∈Z)．] 4．函数y＝tan (2x＋)的图象的一个对称中心为(　　) A．(，0) B．(，0) C．(，0) D．(，0) C　[由2x＋＝kπ，k∈Z， 可得：x＝kπ－，k∈Z， 当k＝2时，x＝， 所以函数y＝tan (2x＋)的图象的一个对称中心为(，0)，故选C．] 5．函数y＝tan (＋)，x∈的值域是________． 解析：　∵x∈， ∴＋∈， ∴函数y＝tan (＋)∈(1，]． 即函数的值域是(1，]． 故答案为(1，]． 答案：　(1，] 学生用书第35页 题型一　求函数的定义域 求下列函数的定义域： (1)y＝；(2)y＝lg (－tan x)． 点拨：　正切函数y＝tan x的定义域需要满足条件x≠kπ＋(k∈Z)．再结合分母不等于0，真数大于0等要求列出条件，再求解即可． 解析：　(1)要使函数y＝有意义， 需使 所以函数的定义域为 ． (2)因为－tan x>0，所以tan x<．又因为tan x＝时，x＝＋kπ(k∈Z)， 根据正切函数图象，得kπ－<x<kπ＋(k∈Z)． 所以函数的定义域是． 求正切函数定义域的方法 求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义即x≠＋kπ，k∈Z．而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．　　 即时练1．(1)函数f(x)＝的定义域为(　　) A． B． C． D． (2)求函数y＝＋lg (1－tan x)的定义域． 解析：　(1)要使函数有意义， 需要tan (2x－)－1≥0 即tan (2x－)≥1， 解得kπ＋≤2x－<kπ＋，k∈Z， 即＋≤x<＋，k∈Z， 所以函数的定义域为．故选C． (2)由题意得解得－1≤tan x<1． 即－＋kπ≤x<＋kπ，k∈Z，所以所求函数的定义域是(k∈Z)． 答案：　(1)C 题型二　正切函数的单调性及其应用 考点1　求函数的单调区间 求函数y＝tan 的单调区间． 点拨：　先利用诱导公式将函数化简，再利用正切函数单调性求解． 解析：　y＝tan ＝－tan ． 由－＋kπ<3x－<＋kπ(k∈Z)，得－＋<x<＋(k∈Z)． 所以函数y＝tan 的单调递减区间为＋，＋(k∈Z)． 考点2　比较大小 比较大小：tan 1，tan 2，tan 3． 点拨：　可根据正切函数的单调性进行比较． 解析：　由诱导公式可知tan 2＝tan (2－π)，tan 3＝tan (3－π)， 因为＜2＜π，＜3＜π，所以－＜2－π＜0，－＜3－π＜0，所以－＜2－π＜3－π＜1＜．因为函数y＝tan x在上单调递增，所以tan (2－π)＜tan (3－π)＜tan 1，即tan 2＜tan