7.3.3 余弦函数的性质与图象-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

7．3．3　余弦函数的性质与图象 [课标解读]1．余弦函数与正弦函数的图象关系；2．借助图象理解余弦函数在[0，2π]上的性质；3．利用有关知识，解决图象变换，函数最值等问题． 知识点一　余弦函数的定义 对于任意一个角x，都有唯一确定的余弦cos_x与之对应，所以y＝cos x是一个函数，一般称为余弦函数． 知识点二　余弦函数的性质 定义域、值域 定义域R，值域[－1，1] 当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1 当且仅当x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 奇偶性 偶函数 周期 2π 单调性 单调增区间 [－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z 单调减区间 [2kπ，π＋2kπ]，k∈Z 零点 ＋kπ，k∈Z (1)由诱导公式cos (－x)＝cos x可知余弦函数为偶函数，反映在图象上就是余弦曲线关于y轴对称． (2)余弦函数y＝cos x的值域为[－1，1]，它表明余弦函数y＝cos x的图象介于直线y＝1和y＝－1之间． (3)由cos (2kπ＋x)＝cos x(k∈Z)知2kπ(k∈Z)都是余弦函数y＝cos x的周期，2π是最小正周期．　　 知识点三　余弦函数的图象 1．图象． 2．对称性：对称轴x＝kπ，对称中心，k∈Z． 3．五点：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 余弦函数的图象可以看作正弦函数的图象向左平移个单位长度．　　 1．函数f(x)＝cos (x＋)的最小正周期为(　　) A． B．π C．2π D．4π D　[由f(x)＝cos (x＋)，得最小正周期T＝＝4π．故选D．] 2．函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递增区间为(　　) A．(kπ＋π，kπ＋π)，k∈Z B．(kπ＋，kπ＋)，k∈Z 学生用书第31页 C．(2kπ＋，2kπ＋π)，k∈Z D．(2kπ＋π，2kπ＋π)，k∈Z D　[函数的周期T＝2(－)＝2π，即＝2π，得ω＝1，则f(x)＝cos (x＋φ)， 由图可知，当x＝＝π时，函数取得最小值，则π＋φ＝π＋2kπ，k∈Z 即φ＝＋2kπ，k∈Z，即f(x)＝cos (x＋)，由2kπ＋π<x＋<2kπ＋2π，k∈Z， 可得2kπ＋π<x<2kπ＋π，k∈Z，即函数的单调递增区间为(2kπ＋π，2kπ＋π)，k∈Z，故选D．] 3．已知m是函数f(x)＝cos x图象的一个对称中心的横坐标，则f(m)＝(　　) A．－1 B．0 C． D．1 B　[函数f(x)＝cos x图象的对称中心的横坐标为x＝＋kπ，k∈Z，则m＝＋kπ，k∈Z，从而f(m)＝＝cos ＝0．] 4．函数y＝2cos x－1的最大值、最小值分别是(　　) A．2，－2 B．1，－3 C．1，－1 D．2，－1 B　[∵－1≤cos x≤1， ∴当cos x＝1时，函数取得最大值为2－1＝1， 当cos x＝－1时，函数取得最小值为－2－1＝－3， 故最大值、最小值分别为1，－3．故选B．] 5．(2022·单元测试)设a＝cos 4，b＝cos ，c＝sin ，则a，b，c的大小关系是__________． 解析：　∵1 rad＝≈57°， ∴a＝cos 4≈cos 228°＝cos 132°， b＝cos ＝cos 144°，c＝sin ＝sin (＋)＝cos ＝cos 120°， ∵y＝cos x在0°<x<180°上单调递减，144°>132°>120°， ∴cos 144°<cos 132°<cos 120°， 即b<a<c，故答案为b<a<c． 答案：　b<a<c 题型一　图象问题 考点1　作图 作出函数y＝3＋2cos x在闭区间[0，2π]上的图象，并求函数y＝3＋2cos x在R上的值域． 点拨：　 解析：　方法一　列表、描点得函数y＝3＋2cos x在闭区间[0，2π]上的图象，如图中实线所示． 根据图象可知，函数y＝3＋2cos x在[0，2π]上的最大值为5，最小值为1，又函数的周期为2π，故函数y＝3＋2cos x在R上的值域为[1，5]． x 0 π 2π y＝cos x 1 0 －1 0 1 y＝3＋2cos x 5 3 1 3 5 方法二　先利用五点法作出函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象，如图中虚线所示，然后将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再把所得图象向上平移3个单位长度就得到函数y＝3＋2cos x，x∈[0，2π]的