7.3.2 第2课时 正弦型函数的性质与图象（二）-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

第2课时　正弦型函数的性质与图象(二) 题型一　参数A，φ，ω的实际意义 弹簧振子以O为平衡位置，在B，C两点间做简谐运动，B，C相距20 cm，某时刻振子处在B点，经0．5 s振子首次到达C点，求： (1)振动的振幅、周期和频率； (2)弹簧振子在5 s内通过的路程及位移． 点拨：　由简谐运动可知A、ω、φ的值进而可求频率及路程，位移． 解析：　(1)设振幅为A，则2A＝20 cm， 所以A＝10 cm． 设周期为T，则＝0．5 s，所以T＝1 s，所以f＝1 Hz． (2)振子在1 s内通过的距离为4A，故在5 s内通过的路程s＝5×4A＝20A＝20×10＝200(cm)． 5 s末物体处在B点，所以它的位移为0 cm． 参数A，φ，ω的应用 首先把函数解析式化为y＝A sin (ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的形式，再求振幅、周期、初相．应注意A＞0，ω＞0．　　 即时练1．(2021·河南省郑州市期中考试)函数y＝2sin (x＋)的周期，振幅，初相分别是(　　) A．，2， B．4π，－2，－ C．4π，2， D．2π，2， C　[∵函数y＝2sin (x＋)， ∴振幅是2，初相是， 又x的系数是， 故函数的周期是T＝＝4π，故选C．] 学生用书第29页 题型二　三角函数解析式 如图所示，它是函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<π)的图象，则该函数的解析式为________． 点拨：　观察图象，由函数最值确定A，由周期T＝确定ω，代点求φ．(代点最好代最值点) 解析：　方法一　(单调性法)由图象可知： A＝2，T＝－＝3π＝，则ω＝． ∵点(π，0)在递减的那段图象上， ∴＋φ∈(k∈Z)， 则由sin ＝0，得＋φ＝(2k＋1)π(k∈Z)． ∵－π<φ<π，∴φ＝． ∴该函数的解析式为y＝2sin ． 方法二　(最值点法)由图象可得T＝3π，A＝2，则ω＝，将最高点坐标代入y＝2sin ，得 2sin ＝2，∴＋φ＝2kπ＋(k∈Z)．∴φ＝2kπ＋(k∈Z)．又－π<φ <π．∴φ＝． ∴该函数的解析式为y＝2sin ． 方法三　(起始点法)由题图得T＝3π，A＝2，故ω＝，函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x0正是由ωx0＋φ＝0解得的，故只要找出起始点的横坐标x0，就可以迅速求得角φ．由图象求得ω＝，x0＝－，φ＝－ωx0＝－×＝．又由图象得A＝2，∴该函数的解析式为y＝2sin ． 答案：　y＝2sin 根据三角函数的图象求函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的解析式，一般先结合图形求得振幅和周期，从而求得A，ω；再利用特殊点、零点或最值点列出关于φ的方程求出φ值．函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的零点有上升零点和下降零点．一般取最靠近原点的上升零点x0，使ωx0＋φ＝2kπ；下降零点x0，使ωx0＋φ＝π＋2kπ，再根据φ的范围确定φ的值．　　 即时练2．如图所示的曲线是y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的一部分，则这个函数的解析式是________． 解析：　由函数图象可知A＝2，T＝＝π， 即＝π，故ω＝2． 又是五点法作图的第五个点， 即2×＋φ＝2π，则φ＝， 故所求函数的解析式为y＝2sin ． 答案：　y＝2sin 题型三　已知函数模型解决实际问题 已知弹簧上挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)与时间t(s)的函数关系式为：h＝3sin ． (1)求小球开始振动的位置； (2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的时间； (3)经过多长时间小球往返振动一次？ (4)每秒内小球能往返振动多少次？ 点拨：　→→→ 解析：　(1)令t＝0，得h＝3sin ＝，所以开始振动的位置为平衡位置上方距离平衡位置 cm处． (2)由题意知，当h＝3时，t的最小值为，即小球第一次上升到最高点的时间为 s； 当h＝－3时，t的最小值为，即小球第一次下降到最低点的时间为 s． (3)T＝＝π≈3．14，即经过约3．14 s小球往返振动一次． (4)f＝≈0．318，即每秒内小球往返振动约0．318次． 1．处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性． (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题． 2．解三角函数应用问题的基本步骤 　即时练3．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：