7.3.1 正弦函数的性质与图像-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

7．3　三角函数的性质与图象 7．3．1　正弦函数的性质与图象 [课标解读]1．正弦函数的性质；2．正弦函数的图象． 知识点一　正弦函数的性质 　函数 性质 　 y＝sin x 定义域 R 值域 因为正弦线的长度最大是1，最小是0，所以值域是[－1，1] 最值 当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 奇偶性 奇函数，图象关于原点中心对称 周期性 周期函数，周期为2kπ(k∈Z，且k≠0)，最小正周期为2π 单调性 在区间(k∈Z)上单调递增，在(k∈Z)上单调递减 零点 kπ(k∈Z) (1)如果y＝sin x的定义域不是全体实数，那么它的值域就可能不是[－1，1]．如y＝sin x，x∈，此时y∈[0，1]． (2)正弦函数在其定义域上不是单调的． (3)若函数y＝sin x的定义域不是R，则一定要在给定定义域内结合函数的单调性求其值域．　　 学生用书第22页 知识点二　正弦函数的图象 1．正弦函数的图象 正弦函数y＝sin x的图象如图所示． 一般地，y＝sin x的函数图象称为正弦曲线． (1)作正弦函数图象时，函数自变量要用弧度制，以保证自变量与函数值都为实数． (2)正弦曲线是轴对称图形，对称轴为x＝＋kπ(k∈Z)；正弦曲线也是中心对称图形，且对称中心为(kπ，0)(k∈Z)． (3)正弦曲线相邻两条对称轴之间的距离为π，相邻两个对称中心的距离也为π，对称中心到其相邻对称轴的距离为．　　 2．五点法作图 从图中可以看出，以下五个点在确定y＝sin x，x∈[0，2π]的图象形状时起着关键作用： (0，0)，，(π，0)，，(2π，0)． 这五个点描出后，y＝sin x，x∈[0，2π]的图象形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不高的情况下，一般都是先找出确定图象形状的关键的五个点，然后再描点作图，这种作图方法称为五点法． 对y＝sin x，x∈[0，2π]的图象形状起关键作用的五个点分为两类： (1)图象与x轴的交点：(0，0)，(π，0)，(2π，0)； (2)图象上的最高点和最低点．　　 1．以下对正弦函数y＝sin x的图象描述不正确的是(　　) A．x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)时的图象形状相同，只是位置不同 B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间 C．关于x轴对称 D．与y轴仅有一个交点 C　[由正弦函数y＝sin x在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)时的图象可知，C项不正确．] 2．(2022·云南省单元测试)用五点法画y＝sin x，x∈[0，2π]的图象时，下列哪个点不是关键点(　　) A．(，) B．(，1) C．(π，0) D．(2π，0) A　[用“五点法”画y＝sin x，x∈[0，2π]的简图时， 横坐标分别为0，，π，，2π， 纵坐标分别为0，1，0，－1，0，故选A．] 3．(2021·广西壮族自治区单元测试)函数y＝1－sin x(x∈[0，2π])的大致图象是图中的(　　) C　[按五个关键点列表： x 0 π 2π y 1 0 1 2 1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来如图所示： 故选C．] 4．函数y＝a|sin x|＋2(a>0)的单调递增区间是(　　) A．(－，) B．(－π，－) C．(，π) D．(，2π) B　[在坐标系中大致画出函数y＝a|sin x|＋2(a>0)的图象： 根据图象得到函数的一个增区间是：(－π，－)，故选B．] 5．函数y＝2－sin x，当x＝________时，y的最小值为______；当x＝______时，y的最大值为________． 解析：　由正弦函数的性质可知， 当x＝2kπ＋，k∈Z时，y＝sin x取最大值1， 此时y＝2－sin x的最小值为1， 当x＝2kπ－，k∈Z时，y＝sin x取最小值－1， 此时y＝2－sin x的最大值为3， 故空1答案为：2kπ＋，k∈Z； 空2答案为1； 空3答案为2kπ－，k∈Z； 空4答案为3． 答案：　2kπ＋，k∈Z　1　2kπ－，k∈Z　3 学生用书第23页 题型一　正弦函数的性质及应用 考点1　比较大小 比较下列各组数的大小： (1)sin 与sin ； (2)sin 与sin ； (3)sin 与cos ． 点拨：　→→ 解析：　(1)因为－＜－