7.2.3 同角三角函数的基本关系式-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

7．2．3　同角三角函数的基本关系式 [课标解读]同角三角函数的基本关系式． 知识点　同角三角函数的基本关系式 基本关系式 语言描述 平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1． 商数关系 ＝tan α (cos α≠0) 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切． (1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立． (2)sin2α是(sinα)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin2α写成sinα2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写． 学生用书第13页 (3)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tanα＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立．　　 1．(2021·湖北省同步练习)化简的结果是(　　) A．cos 160° B．±|cos 160°| C．±cos 160° D．－cos 160° D　[由于cos 160°<0， 故＝ ＝|cos160°|＝－cos 160°．故选D．] 2．(2021·河南省商丘市单元测试)若cos x＝，且x为第四象限的角，则tan x的值等于(　　) A． B．－ C． D．－ D　[∵x为第四象限的角，cos x＝， ∴sin x＝－＝－， 于是tanx＝＝＝－，故选D．] 3．(2022·体验省期末考试)若α为锐角，sin α＝，则cos α＝(　　) A．－ B． C．－ D． D　[∵α为锐角，且sin α＝， ∴cos α＝＝＝．故选D．] 4．化简：(1＋tan2α)·cos2α等于(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 C　[原式＝·cos2α＝cos2α＋sin2α＝1．] 5．(2022·云南省单元测试)若tanα＝2，则的值为________． 解析：　∵tan α＝2， ∴＝＝， 故答案为． 答案：　 题型一　利用同角基本关系式求值 (1)已知sin α＝，求cos α，tan α； (2)已知tan α＝3，求． 点拨：　(1)由sinα的符号分象限讨论cos α，tan α的符号； (2)在这里，注意到所求式子都是关于sin α，cos α的分式齐次式(或可化为分式齐次式)，将其分子、分母同除以cos α的整数次幂，就把所求值的式子用tan α表示，将tan α＝3整体代入，就能快速求其值． 解析：　(1)因为sin α＝>0，且sin α≠1，所以α是第一或第二象限角． ①当α为第一象限角时，cos α＝＝＝，tan α＝＝； ②当α为第二象限角时，cos α＝－＝－，tanα＝－． (2)分子、分母同除以cos2α， 得＝． 又tanα＝3，所以＝＝． 求同角三角函数值的一般步骤 (1)根据已知三角函数值的符号，确定角所在的象限． (2)根据(1)中角所在象限确定是否对角所在的象限进行分类讨论． (3)利用两个基本公式求出其余三角函数值．　　 即时练1．(1)本例(2)条件变为＝2，求的值． (2)本例(2)条件不变，求4sin2α－3sinα·cos α－5cos2α的值． 解析：　(1)方法一：由＝2，化简得sin α＝3cos α， 原式＝＝＝． 方法二：由＝2得tan α＝3， 原式＝＝＝． (2)原式＝ ＝＝＝． 题型二　化简三角函数式 化简： (1)－；(2)． 点拨：　利用同角三角函数的基本关系化简， (1)sin2α＋cos2α＝1；(2)(sinα＋cos α)2＝1＋2sin αcos α． 解析：　(1)－ ＝＝＝－＝－2tan2α． (2)＝ ＝＝1． 学生用书第14页 三角函数式的化简技巧 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式．然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1．以降低次数，达到化简的目的．　　 即时练2．(1)化简：； (2)已知α是第三象限角，化简：－