7.2.1 三角函数的定义&7.2.2 单位圆与三角函数线-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

7．2　任意角的三角函数 7．2．1　三角函数的定义 7．2．2　单位圆与三角函数线 [课标解读]1．任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；2．三角函数值的符号． 知识点一　任意角的正弦、余弦与正切的定义 1．锐角三角函数的坐标解释 当α是锐角时，它的终边在第一象限内．如图所示，在α终边上任取一个不同于坐标原点的点P(x，y)，作PM垂直Ox于点M，记r＝，则△OMP是一个直角三角形，且OM＝x，PM＝y，OP＝r，由此可知sin α＝＝，cos α＝＝，tan α＝＝． 2．任意角的三角函数的定义 如图所示，设P(x，y)是任意角α终边上异于原点的任意一点，r＝． 名称 定义 定义域 说明 正弦 sin α＝ R ①α为任意角， ②P(x，y)， ③OP＝r 余弦 cos α＝ R 正切 tan α＝ 对任意角的三角函数的理解 (1)三角函数是以角α为自变量，比值为函数值的一类函数，是正弦函数、余弦函数、正切函数等的统称，比值中的x不是自变量，y也不是函数值． (2)要明确sin α是一个整体，而不是sin 与α的积，如同f(x)表示自变量为x的函数一样，离开α的“sin ”“cos ”“tan ”等是无意义的．　　 (4)因为x≤，y≤，根据正弦函数、余弦函数的定义，我们可以得到正弦函数、余弦函数的值域为[－1，1]．Ｋ 知识点二　正弦、余弦与正切在各象限的符号 三角函数值的符号是根据三角函数的定义和各象限内点的坐标的符号得出的．由于原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值，所以根据三角函数的定义可知： (1)正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号； (2)余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号； (3)正切函数值的符号由纵坐标y与横坐标x的符号共同决定，即x，y同号为正，异号为负． 由上可得各三角函数在每个象限的符号，如图所示． 学生用书第10页 三角函数在各象限的符号的理解及记忆 三角函数在各象限的符号可简记为“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，即第一象限内各三角函数值的符号均为正；第二象限内正弦值为正；第三象限内正切值为正；第四象限内余弦值为正．　　 知识点三　单位圆与三角函数线 1．单位圆 一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点组成的集合称为单位圆． 2．三角函数线 设角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过点P作PM垂直于x轴于M． 由三角函数的定义知点P(cos α，sin α)，其中cos α＝±||，sin α＝±||，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tan α＝±||．我们称、、分别为α的余弦线、正弦线、正切线． 各象限内的三角函数线如下表所示： 图形 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 三角函数线的理解 (1)余弦线、正弦线、正切线都是三角函数，它们分别是余弦函数、正弦函数、正切函数的几何表示． (2)三角函数线是与以坐标原点为圆心的单位圆有关的有向线段，在作三角函数线时，一定要先作以坐标原点为圆心的单位圆． (3)三角函数线是有向线段(规定了起点和终点的线段)，在用字母表示这些线段时，要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序不能颠倒．也可用这样的规律：凡含原点的有向线段，都以原点为起点；不含原点的有向线段，都以此有向线段与坐标轴的公共点为起点． (4)三角函数值可用三角函数线表示，其绝对值就是三角函数线的长，正负号可以这样确定：正弦线、正切线的方向与纵轴的正方向相同时为正值，相反时为负值；余弦线的方向与横轴的正方向相同时为正值，相反时为负值．　　 1．下列选项中符号为负的是(　　) A．sin 110° B．cos(－60°) C．tan 4 D．cos D　[A．因为110°是第二象限的角，所以sin 110°>0，不符合题意； B．因为－60°是第四象限的角，所以cos (－60°)>0，不符合题意； C．因为4是第三象限的角，所以tan 4>0，不符合题意； D．因为是第二象限的角，所以cos <0，符合题意．故选D．] 2．(2022·单元测试)已知点P(3，－4)是角α的终边上一点，则sin α－cos α＝(　　) A．－ B．－ C． D． A　[因为点P(3，－4)是角α的终边上一点， 所以sin α＝＝－，cos α＝， 所以sin α－cos α＝－．故选A．] 3．已知角α的正弦线的方向与y轴正方向相同，余弦线的方向与