7.1.2 弧度制及其与角度制的换算-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

7．1．2　弧度制及其与角度制的换算 [课标解读]1．弧度制的概念；2．弧度与角度的互化；3．扇形的弧长公式与面积公式． 知识点一　角度制与弧度制 1．角度制 把圆周等分成360份，其中每一份所对应的圆心角为1度，这种用度作单位来度量角的制度称为角度制．角度制还规定1度等于60分，1分等于60秒，即1°＝60′，1′＝60″． 2．弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1 rad．如图所示，因为的长等于半径r，所以所对的圆心角∠AOB就是1弧度的角．这种以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制． 3．弧度数 由弧度制的定义可知，在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，则α＝．弧度的大小与所在圆的半径的大小无关，只与圆心角的大小有关．换句话说，弧度数是个比值，只和角的大小有关，弧长是半径的几倍，相对应的角的大小就是几弧度． 角度制 用度作为单位来度量角的单位制 角的大小与圆的半径的大小无关 单位“°”不能省略 角的正负与方向有关 六十制进制 弧度制 用弧度作为单位来度量角的单位制 角的大小与圆的半径的大小无关 单位“rad” 可以省略 角的正负与方向有关 十进制 　知识点二　角度与弧度之间的换算 1．弧度制与角度制的换算公式 2．常用的特殊角的角度与弧度的对应表 度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 105° 120° 弧度 0 度 135° 150° 165° 180° 195° 210° 225° 240° 255° 弧度 π 度 270° 285° 300° 315° 330° 345° 360° — — 弧度 2π — — 由上表可知，研究弧度制与角度制互化的关键就是抓住＝15°． (1)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数值相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，数值也不同． (2)角度制与弧度制是两种不同的度量单位，在表示角时，两种不能混用，例如α＝k·360°＋(k∈Z)，β＝2kπ＋30°(k∈Z)的写法都是不规范的，应写为α＝k·360°＋30°(k∈Z)，β＝2kπ＋(k∈Z)．　　 学生用书第6页 3．弧度制下的象限角与轴线角的集合表示 (1)象限角的集合 象限角 集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 (2)轴线角的集合 角的终边的位置 集合表示 终边在x轴正半轴上 {β|β＝2kπ，k∈Z} 终边在x轴负半轴上 {β|β＝2kπ＋π，k∈Z} 终边在y轴正半轴上 终边在y轴负半轴上 终边在x轴上 {β|β＝kπ，k∈Z} 终边在y轴上 终边在坐标轴上 知识点三　弧长公式与扇形面积公式 1．弧长公式 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α，则α＝，变形可得l＝αr，此公式称为弧长公式，其中α的单位是弧度． 2．扇形面积公式 圆心角为1 rad的扇形面积为＝r2，所以圆心角为α rad的扇形面积S＝αr2，又因为l＝αr，代入上式可得S＝αr2＝lr，此公式称为扇形面积公式． (1)在应用公式l＝αr和S＝lr＝αr2时，要注意α的单位是弧度． (2)在运用公式时，根据已知的是角度数还是弧度数，选择合适的公式代入．　　 (3)弧度制下的扇形面积公式S＝lr，与三角形面积公式S＝ah(h是三角形底边a上的高)有类似的形式． (4)由α，r，l，S中的两个量可以求出另外的两个量． 1．(2021·浙江省单元测试)－300°化为弧度是(　　) A．－π B．－π C．－π D．－π B　[∵180°＝π rad，∴1°＝ rad， ∴－300°＝－300× rad＝－π rad，故选B．] 2．弧度化为角度是(　　) A．110° B．160° C．108° D．218° C　[∵1 rad＝()°， ∴＝(×)°＝108°．故选C．] 3．下列说法中正确的是(　　) A．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B．1弧度是长度为半径长的弧 C．1弧度是1度的弧与1度的角之和 D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位 D　[利用弧度的定义及角度的定义判断．]