7.1.1 角的推广-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

7．1　任意角的概念与弧度制 7．1．1　角的推广 [课标解读]1．任意角的概念；2．象限角的概念；3．终边相同的角的集合表示． 知识点一　任意角的概念 1．角的概念 一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角．这样定义的角，由于是旋转生成的，所以也常称为转角． 2．角的表示 如图所示， (1)始边：射线OA． (2)终边：射线OB． (3)顶点：射线的端点O． (4)记法：图中的角α也可记为“∠α”或“∠AOB”． 在不引起混淆的情况下，“∠α”可以简记为“α”． 3．角的分类 当射线绕其端点按逆时针方向或按顺时针方向旋转时，旋转的绝对量可以是任意的．因此，角的概念经过以上的推广以后，包括以下三类： 名称 定义 图形 正角 一条射线按逆时针方向旋转而成的角 负角 一条射线按顺时针方向旋转而成的角 零角 射线没有旋转 (1)正角、负角的引入是从正数、负数类比而来的，它们是用来表示具有相反的旋转方向的角． (2)正确理解正角、负角、零角的定义，关键是抓住角的终边的位置是由角的始边所对应的射线绕它的端点按照逆时针方向旋转、顺时针方向旋转或是没有旋转得到的．　　 (3)角的概念推广以后，角的大小可以是任意的，不再局限于0°～360°(角α在0°～360°范围内指0°≤α<360°，其他类同)． (4)角的形成包含两个“元素”，旋转的方向与旋转的绝对量的大小． 知识点二　终边相同的角与象限角 1．终边相同的角 为了方便起见，通常将角放在平面直角坐标系中来讨论，并约定：角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上． 一般地，角α＋k·360°(k∈Z)与角α的终边相同，这只需把k·360°看成逆时针或者顺时针方向旋转若干周即可．任意两个终边相同的角，它们的差一定是360°的整数倍．因此，所有与α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 学生用书第2页 (1)角α为任意角，条件“k∈Z”是必要条件． (2)k·360°－α＝k·360°＋(－α)． (3)“两个角的终边相同”是“两个角相等”的必要不充分条件．与角α终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．　　 2．象限角 (1)定义 在平面直角坐标系中，当角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上时，角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角． (2)象限角的集合表示 象限角 角的集合表示 第一象限角 {α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z} 第二象限角 {α|k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z} 第三象限角 {α|k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，k∈Z} 第四象限角 {α|k·360°＋270°＜α＜k·360°＋360°，k∈Z} (1)若角的顶点不与坐标原点重合，或者角的始边不落在x轴的正半轴上，则不能判断这个角是第几象限角． (2)象限角的集合表示形式不唯一，如第四象限角也可以表示为{α|k·360°－90°＜α＜k·360°，k∈Z}，但其本质是一样的．　　 1．(2021·全国月考试卷)475°角的终边所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B　[因为475°＝360°＋115°，90°<115°<180°， 所以115°是第二象限角， 故475°角的终边所在的象限是第二象限．故选：B．] 2．下列各角：－60°，126°，－63°，0°，99°，其中正角的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B　[结合正角、负角和零角的概念可知，126°，99°是正角，－60°，－63°是负角，0°是零角，故选B．] 3．与800°角终边相同的角可以表示为(　　)，k∈Z． A．k·360°＋40° B．k·360°＋60° C．k·360°＋80° D．k·360°＋180° C　[与800°角终边相同的角可以表示为800°＋k1·360°＝80°＋(k1＋2)·360°(k1∈Z)，即k·360°＋80°(k∈Z)．故选：C．] 4．α＝585°，则α的终边在第________象限． 解析：　∵360°＋180°<585°<360°＋270°，∴α的终边落在第三象限．故答案为三． 答案：　三 5．下图中，射线OA绕端点O旋转到OB，OB1，OB2位置所成的角α＝________，β＝________，γ＝________． 解析：　图(1)中，O