2024年中考数学专题复习：动点函数

动点函数 纵观每一年的中考题,不难发现有一类动点函数的选择题屡屡出现,成为中考场上的亮点。这类题一般处在选择压轴题的位置,需要综合调度知识来解决。通过梳理发现承载这类函数的载体元素一般是线段、周长、三角、面积等,很自然,在考查动点函数的同时融入了诸多图形的核心知识,处于压轴题的位置成为应然之态。 一、线段函数 【例1】(2023•滑县二模)如图1,点A是⊙O上一定点,圆上一点P从圆上一定点B出发,沿逆时针方向运动到点A,运动时间是,线段AP的长度是.图2是y随x变化的关系图象,则点P的运动速度是( ) A. B. C. D. 解:从图2看,当时,,即此时A、O、P三点共线,则圆的半径为, 当时,,故, 则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时, 此时,走过的了角度为,则走过的弧长为, 故点P的运动速度是,故选:C. 二、线段和函数 【例2】(2023•商丘模拟)如图①,在菱形ABCD中,,点E是边BC的中点,点F是对角线BD上一动点,设FD的长为x,EF与CF长度的和为y.图②是y关于x的函数图象,点P为图象上的最低点,则函数图象的右端点Q的坐标为( ) A. B. C. D. 解:连接AF, ∵在菱形ABCD中点A与点C关于BD对称,∴,∴, 当A、F、E三点在同一直线上时,y取最小值,y的最小值为线段AE的长, 由图②可知此时,即,在菱形中点E是边BC的中点,可得,, ∵,,∴,∴, ∵,∴,∴,∴,, ∴, 当点F和点B重合时,此时x取值最大值6,, ∴点Q的坐标为,故选:D. 三、面积函数 【例3】(2023•辽宁)如图,,在射线AM,AN上分别截取,连接BC,的平分线交BC于点D,点E为线段AB上的动点,作交AM于点F,作交射线AD于点G,过点G作于点H,点E沿AB方向运动,当点E与点B重合时停止运动.设点E运动的路程为,四边形EFHG与重叠部分的面积为S,则能大致反映S与之间函数关系的图象是( ) A. B. C. D. 解:∵,,∴是边长为6的正三角形, ∵AD平分, ∴,,, ①当矩形EFHG全部在之中,即由图1到图2,此时, ∵,∴,∴, 在中,,,∴,∴, ②图3时,,即,解得:,由图2到图3,此时, 如图4,由题意可知是正三角形,∴,∴, ∴, ③图6时,,由图5到图6,此时, 如图5,由题意可知是正三角形,∴,,, ∴, 综上所述,S与的函数关系式为, 因此三段函数的都是二次函数关系,其中第1段是开口向上,第2段、第3段是开口向下的抛物线, 故选:A. 四、重叠面积函数 【例4】(2023•辽宁)如图,在中,,,.动点P从点A出发,以的速度沿射线AB匀速运动,到点B停止运动,同时动点Q从点A出发,以的速度沿射线AC匀速运动.当点P停止运动时,点Q也随之停止运动.在PQ的右侧以PQ为边作菱形PQMN,点N在射线AB上.设点P的运动时间为,菱形PQMN与的重叠部分的面积为,则能大致反映y与x之间函数关系的图象是( ) A. B. C. D. 解:作于点D,作于点E, 由题意得,,∴,∴, ∴PD是线段AQ的垂直平分线,∴,∴,, ∴,, ①当点M运动到直线BC上时, 此时,是等边三角形,∴,; ②当点Q、N运动到与点C,B重合时, ∴,; ③当点P运动到与点B重合时,∴,; ∴a.当时,, b.当时,如图,作于点G,交QM于点R, 则,,, ∴, c.当时,如图,作于点I, 则,,∴, 综上,y与x之间函数关系的图象分为三段,当时,是开口向上的一段抛物线,当时,是开口向下的一段抛物线,当时,是开口向上的一段抛物线,只有选项A符合题意,选:A. 【达标检测】 1.(2023秋•宣城期末)如图,菱形OABC的顶点O在坐标原点,,,直线l由开始与y轴重合的位置,以每秒1个单位长度的速度向右平移,设经过秒后,菱形与直线l的左侧公共部分的面积为s,则s与点P运动的时间t(秒)之间的函数图象大致是( ) A. B. C. D. 2.(2023秋•南岗区期中)如图1,在中,动点P从点A出发沿折线方向匀速运动至点A停止,设点P的运动路程为x,线段AP的长度为y,图2是表示y与x的函数关系的图象,其中点E为曲线DF的最低点,下列结论①,②,③的面积为,④中AB边上的高为4,其中正确的个数为( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(2023•梁园区一模)如图,点F是菱形对角线BD上一动点,点E是线段BC上一点,且,连接EF、CF,设BF的长为x,,点F从点B运动到点D时,y随x变化的关系图象,图象最低点的纵坐标是( ) A. B. C. D. 4.(2023秋•中原区校级期中)已知如图1,正方形ABCD中,点P从A出发,沿着的路线到D停止运动,若点P的运动时间为x秒,速度为每秒1个单位长度,的面积为y,y关于x