3.3幂函数学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

班级： 姓名： 3.3 幂函数 【学习目标】 1、理解幂函数的概念，会画幂函数的图象； 2、结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质； 3、通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力． 【重难点】 重点：理解幂函数图象的变化情况和性质； 难点：数形结合与分类讨论思想的应用. 【导学流程】 问题1：(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的钱数p = ， (2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积是S = ， (3)如果正方体的边长为b，那么正方体的体积是V = ， (4)如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长c= ， (5)如果某人t s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v = 。 问题2：若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用y来表示,并且观察以上问题中的函数有什么共同特征？ 知识点一： 幂函数的概念：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. 1.在函数①，②，③，④y=1，⑤y=2x2，⑥中，是幂函数的是(　　) A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥ 2.已知幂函数的图象过点,则此函数的解析式为 . 知识点二：画幂函数的图象. 函数 定义域 值域 奇偶性 单调性 ， ， ， ， 公共点 都经过点 例1：若是幂函数，求m的值。 变式1：若的图象不过原点，且关于原点对称，求m的取值。 例2：证明幂函数是增函数. 变式2：已知幂函数f(x)=，若f(a+1)<f(10-2a)，求a的取值范围. 知识点三：一般幂函数的图象特征 1．所有的幂函数在(0，+∞)上都有定义，并且图象都过点 ． 2．当α>0时，幂函数的图象通过 ，并且在区间[0，+∞)上 ．特别地，当α>1时，幂函数的图象 ；当0<α<1时，幂函数的图象 ． 3．当 时，幂函数在区间(0，+∞)上单调递减． 4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y=x对称． 5．在第一象限，作直线x=a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从 到 的顺序排列． 例3：如图是幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象，则(　　) A．-1<n<0<m<1 B．n<-1，0<m<1 C．-1<n<0，m>1 D．n<-1，m>1 变式3：比较下列各组数中两数的大小。 (1) (2) (3) (4) 【课堂小结】 一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 注意：1. 2.幂函数前面系数为1 3.定义域没有固定,与的值有关. 【随堂练习】 一、选择题 1.已知幂函数的图象过点，则等于(　　) A．　　 　B．1　　　C．　　　D．2 2.已知函数，在下列函数图象中，不是函数的图象的是(　　) 　 A　 　　B　　　　 　C　　 D 3.设，则使函数的定义域是R，且为奇函数的所有α的值是(　　) A．1，3 B．-1，1 C．-1，3 D．-1，1，3 4.幂函数f (x)=的图象过点(2，4)，那么函数f (x)的单调递增区间是(　　) A． B． C． D． 5.当0<x<1时，f (x)=x2，g(x)=，h(x)=x-2的大小关系是(　　) A． B． C． D． 6.(多选)某同学在研究幂函数时，发现有的具有以下三个性质：①奇函数；②值域是{y|y∈R，且y≠0}；③在区间上单调递减．则以下幂函数符合这三个性质的有(　　) A．f (x)=x2　　 B．f (x)=x C．f (x)= D． 二、填空题 8.已知幂函数f (x)=xm的图象经过点(，3)，则f (6)=____________. 9.若幂函数f (x)=(m2-m-1)x2m-3在(0，+∞)上是减函数，则实数m=____________. 10.已知4.1α>4.3α，则α的取值范围是____________.