6.4.3 余弦定理、正弦定理（讲义，3考点+7题型）-2023-2024学年高一数学同步讲义与对点练（人教A版2019必修第二册）

6.4.3 余弦定理、正弦定理 知识点一 余弦定理 1、余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 2、余弦定理推论： 3、解三角形：一般地，三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 4、利用余弦定理可以解两类有关三角形的问题 ①已知两边及其夹角，解三角形. ②已知三边，解三角形． 微点拨： ①余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例． ②余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角. 知识点二 正弦定理 1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即． 2、正弦定理的变形： (1)（为外接圆的半径）． (2)（为外接圆的半径）． (3)三角形的边长之比等于对应角的正弦之比，即. (4). (5). 知识点三 三角形面积公式 1、常用的三角形的面积计算公式 (1)分别为边上的高）. (2)将代入上式可得，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半． 2、三角形的其他面积公式 (1)其中分别为的内切圆半径及的周长. (2)． 知识点四 利用正弦定理可以解两类有关三角形的问题 1、已知两角及一边，解三角形，此时有唯一解，三角形被唯一确定； 2、已知两边及一边的对角，解三角形，此时有可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定. （1）从代数角度分析三角形解的情况，以已知和，解三角形为例，用代数法探究如下： ①若，则三角形解的个数为0； ②若，则三角形解的个数为1； ①若，则三角形解的个数为1或2. 显然由可得有两个值，一个为钝角，一个为锐角，考虑到“大边对大角”“三角形内角和等于”等，此时需进行讨论. 微点拨： 三角形解的个数也可由三角形中“大边对大角”来判定．不妨设为锐角，若，则，从而为锐角，有一解；若，则，由正弦定理得：若，即，无解；若，即，，一解；若，即，两解. （2）从几何角度分析三角形解的情况，以已知和，解三角形为例，用几何法探究如下： 为锐角 为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 无解 一解 考点一 余弦定理 题型一 已知两边及一角解三角形 已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角，若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边． 1．（2024上·云南玉溪·高二统考期末）在中，，则（    ） A．1 B． C． D． 2．（2024上·云南曲靖·高二曲靖一中校考期末，多选）在中，，这个三角形的周长可能等于（    ） A． B． C． D． 3.（2023·广东东莞·高一东莞实验中学校考期中）在中，角对应的边分别为，则 4．（2024·上海·高一假期作业）在中，已知，，. 求、及. 题型二 已知三边解三角形 已知三角形的三边解三角形的方法 (1)利用余弦定理求出三个角的余弦，进而求出三个角． (2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入，从而转化为三边关系求解． 1．（2024上·北京·高二统考学业考试）在中，，则（    ） A． B． C． D． 2.（2023·湖北十堰·高一统考期末）已知，在钝角中，，，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（2023上·河北保定·高二校联考开学考试）在中，，，，则 . 4．（2023·全国·高一随堂练习）的三边之比为．求这个三角形的最大角． 5．（2023上·福建漳州·高三漳州三中校考阶段练习）在四边形中，，. (1)若，求； (2)若，求. 题型三 利用余弦定理判断三角形形状 判断三角形形状的思路和常用结论 1.利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线： (1)化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断． (2)化角的关系：将条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换得出关系进行判断． 2.判断三角形的形状时，经常用到以下结论： (1)为直角三角形或或； (2)为锐角三角形且且； (3)为钝角三角形或或. 1．（2022上·陕西延安·高二统考期中）若三角形的三边长度分别为5，6，7，则该三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确