6.4.3 课时3 余弦定理、正弦定理应用举例（6大题型）-2023-2024学年高一数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019必修第二册）

6.4.3 课时3 余弦定理、正弦定理应用举例 1、 掌握基线、坡角、仰角、辅角、方位角、方向角等测量问题中的常用概念； 2、 能够运用正弦定理和余弦定理解决与距离、高度、角度有关的实际问题。 一、基线 1、定义：在测量过程中，根据测量的需要而确定的线段叫做基线。 2、性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量既有较高的精确度，一般来说，基线越长，测量的精确度高越高。 二、实际测量中的有关名称、术语： 1、仰角与俯角：（1）仰角：在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角 （2）俯角：在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角 2、方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角 （指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°） 3、方位角：从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角 三、利用解三角形解决实际问题的方法步骤 1、解决方法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解。 2、应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤 （1）分析：理解题意，分清已知与位置，画出示意图； （2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型中； （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解。 四、测量距离问题常见题型及解决办法 1、常见题型与解决方法 （1）两点间不可通又不可视(如图①)：可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：AB＝. （2）两点间可视但不可到达(如图②)：可选取与B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB. （3）两点都不可到达(如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB. 2、求距离问题的注意事项 （1）选角或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解；若其他量位置，则把未知量放在另一确定的三角形中求解； （2）确定正弦定理还是余弦定理，如都可以，就选便于计算的定理。 五、测量高度问题需要注意3个问题 1、在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键． 2、在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． 3、注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 六、测量角度问题需要注意3个问题 1、测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义； 2、求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值； 3、在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的优点。 题型一 测量距离问题 【例1】（2023·全国·高一课时练习）如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距20米的C、D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，那么此时A，B两点间的距离是多少？ 【变式1-1】（2023·广东东莞·高一东莞市厚街中学校考阶段练习）如图，设两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在的同侧，在所在的河岸边选定一点，测出的距离为，，则两点间的距离为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·云南曲靖·高一校考期中）如图所示，为了测量湖中两处亭子间的距离，湖岸边现有相距100米的甲､乙两位测量人员，甲测量员在处测量发现亭子位于北偏西亭子位于东北方向，乙测量员在处测量发现亭子位于正北方向，亭子位于北偏西方向，则两亭子间的距离为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式1-3】（2023·辽宁大连·高一大连八中校考期中）如图所示，为测算某自然水域的最大宽度（即、两点间的距离），取相距米的、两点作为观测点（、、、四点在同一平面内）.测得，，.测绘人员根据以上数据，先推算出、两点间的距离，然后就可以测算出、两点间的距离.请你完成以下运算. （1）求的长（单位：米）； （2）求水域的最大宽度的长（单位：米）. 题型二 测量高度问题 【例2】（2023·江西九江·高二江西省都昌县第一