广东省广州市玉岩中学2023-2024学年高三下学期开学考数学试卷

广州市玉岩中学2024届高三下学期开学考 数学试卷 命题人:向良辉 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目。 1.学校组织班级知识竞赛,某班的12名学生的成绩单位:分分别是:,则这12名学生成绩的分位数是( ) A. 92 B. 87 C. 93 D. 91 2.已知双曲线的虚轴长是2,则实数m的值为( ) A. B. C. D. 3.在等比数列中,,,则( ) A. B. 16 C. 32 D. 4.已知直线a和平面,那么能得出的一个条件是( ) A. 存在一条直线b,且 B. 存在一条直线b,且 C. 存在一个平面,且 D. 存在一个平面,且 5.包含甲同学在内的5个学生去观看滑雪、马术、气排球3场比赛,每场比赛至少有1名学生且至多有2名学生前往观看,则甲同学不去观看气排球的方案种数有( ) A. 120 B. 72 C. 60 D. 54 6.已知点是直线上的一点,过点P作圆的两条切线,切点分别是点A,B,则四边形PACB的面积的最小值为( ) A. B. C. D. 7.已知,则的最小值为( ) A. B. C. D. 8.已知点P是椭圆上的动点,、为椭圆的左、右焦点,O为坐标原点,若M是的角平分线上的一点,且,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知函数,则下列结论正确的是( ) A. 的最大值为2 B. 在上单调递增 C. 在上有4个零点 D. 把的图象向右平移个单位长度,得到的图象关于直线对称 10.已知,,则下列结论正确的有( ) A. B. C. D. 11.定义:已知两个非零向量与的夹角为我们把数量叫做向量与的叉乘的模,记作,即则下列命题中正确的有( ) A. 若平行四边形ABCD的面积为4,则 B. 在正中,若,则 C. 若,,则的最小值为 D. 若,,且为单位向量,则的值可能为 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.已知集合,,若,则实数a的取值范围是_. 13.已知若对任意的,均有 或,则m的取值范围是_. 14.若数列中不超过的项数恰为,则称数列是数列的生成数列,称相应的函数是数列生成的控制函数.已知,且,数列的前m项和为,若,则m的值为_. 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15.本小题13分已知函数在点处的切线的斜率为 求a的值; 求函数的单调区间和极值. 16.本小题15分 西梅以“梅”为名,实际上不是梅子,而是李子,中文正规名叫"欧洲李”,素有“奇迹水果”的美誉.因此,每批西梅进入市场之前,会对其进行检测,现随机抽取了10箱西梅,其中有4箱测定为一等品. 现从这10箱中任取3箱,求恰好有1箱是一等品的概率; 以这10箱的检测结果来估计这一批西梅的情况,若从这一批西梅中随机抽取3箱,记表示抽到一等品的箱数,求的分布列和期望. 17.本小题15分 由各棱长均相等的四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示,底面ABCD为正方形,点O为线段AC与BD的交点,点E为线段AD中点,平面 证明:平面; 若点M为线段包含端点上一点,求EM与平面所成角的正弦值的最大值. 18.本小题17分 已知椭圆的左、右焦点分别为,,过点作直线与x轴不重合交C于M,N两点,且当M为C的上顶点时,的周长为8,面积为 求C的方程; 若A是C的右顶点,设直线l,AM,AN的斜率分别为k,,,求证:为定值. 19.本小题17分 对任意,若数列满足则称这个数列为“K数列”. 已知数列:1,是“K数列”,求实数m的取值范围; 是否存在首项为的等差数列为“K数列”,且其前n项和使得恒成立?若存在,求出的通项公式;若不存在,请说明理由; 已知各项均为正整数的等比数列是“K数列”,数列不是“K数列”,若试判断数列是否为“K数列”,并说明理由. 第8页 学科网