2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何解答题专项突破

2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何解答题专项突破 1．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足． (1)判断，，三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内． 2．如图所示，在平行六面体中，设，，，分别是，，的中点，试用表示以下各向量：    (1)； (2)； (3) 3．如图，正三棱柱中，底面边长为. (1)设侧棱长为，求证：； (2)设与的夹角为，求侧棱的长． 4．如图，已知O､A､B､C､D､E､F､G､H为空间的9个点，且，，，，，.求证： (1)A､B､C､D四点共面，E､F､G､H四点共面； (2)； (3). 5．三棱柱中，，分别是，上的点，且，.设，，. (1)试用，，表示向量； (2)若，，，求的长. 6．如图，在平行六面体中，设，，，E，F分别是的中点. (1)用向量表示； (2)若，求实数x，y，z的值. 7．如图，在三棱柱ABC­-A′B′C′中，已知，，，点M，N分别是的中点，试用一组基表示向量，.    8．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设，，. (1)求证EG⊥AB； (2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值． 9．如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且，N是CM的中点，设，，，用、、表示向量，并求BN的长． 10．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，. (1)试用表示向量； (2)求BM的长. 11．已知空间三点，，，设，． (1)求； (2)与互相垂直，求实数的值． 12．已知空间三点. (1)求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积； (2)若向量分别与垂直，且，求的坐标. 13．设，. (1)若，求； (2)若，求. 14．已知正三棱柱，底面边长，，点、分别是边、的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．    (1)求三棱柱的侧棱长； (2)若为的中点，试用基底表示向量； (3)求与夹角的余弦值． 15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，⊥底面，，， ，点E为棱的中点．    (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求二面角的余弦值． 16．如图1，在四边形中，，，，分别为的中点，，．将四边形沿折起，使平面平面(如图2)，是的中点． (1)证明：； (2)求二面角的大小． 17．如图，四边形是边长为的正方形，平面，平面，且． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 18．如图，在四棱锥中，，，，，分别为的中点，．    (1)求证：平面平面； (2)设，若平面与平面所成锐二面角，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)，，共面 (2)点M在平面ABC内 【分析】（1）根据空间向量的线性运算，结合平面向量基本定理证明即可； （2）根据（1）结合平面向量的基本定理判断即可． 【详解】（1）由题知， 则， 即， 所以，，共面． （2）由（1）知，，共面且基线过同一点M， 所以M，A，B，C四点共面，即点M在平面ABC内． 2．(1)． (2)． (3)． 【分析】（1）（2）（3）利用空间向量的加减法分别求解即可. 【详解】（1）因为是的中点，，，， 所以， （2）因为为的中点，，，， 所以， （3）因为为的中点，，，， 所以， ， 所以. 3．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算表示与，结合向量数量积的运算律计算，即可得证； （2）根据向量数量积的运算律表示数量积及模长，根据夹角可得模长. 【详解】（1）由已知得，， 平面， ，， 又是正三角形， , ； ； （2）由（1）得， 又， ， ， 解得， 即侧棱长为. 4．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用空间向量基本定理证明即可， （2）由，结合空间向量的减法和数乘运算可得，从而可证得结论， （3）由，结合（2）中的结论与可得证 【详解】（1）因为，， 所以由共面向量定理可得是共面向量，是共面向量， 因为有公共点，有公共点， 所以A､B､C､D四点共面，E､F､G､H四点共面， （2）因为 ， 所以； （3） 5．(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合空间向量的加减法与数乘运算，即可求解； （2）根据题意，结合空间向量数量积的求法，求出，即可求解. 【详解】（1）由题图知，， 因为，， 所以，， 故. （2）根据题意，由，，， 得，即， 由（1）知. 6．(1)，； (2). 【分析】（1）根据给定的几何体，利用空间向量的