5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 讲义——2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

正弦函数余弦函数的性质 1.周期函数的定义 一般地，设函数的定义域为D，如果存在个非零常数T使得对每一个，都有，且，那么函数就是周期函数，非零常数T是这个函数的周期如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫最小正周期. 特别地，函数（其中）的最小正周期. 2.正弦函数、余弦函数的周期性和对称性 函数 图像 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数，图像关于原点中心对称 偶函数，图像关于y轴对称 对称中心（无穷多个） （由解得横坐标） （由解得横坐标） 对称轴 注：正弦函数、余弦函数图象与x轴所有的交点都是其对称中心，所有过最值点且垂直于x轴的直线都是图象的对称轴 3.函数的对称性 令，得图象的对称轴方程为. 令，得图象的对称中心为 ■范例分析■ 例1.求下列函数的周期. （1）； （2）； （3）. 例2 求下列函数的周期 （1） （2） （3） 例3 判断下列函数的奇偶性. （1） （2） （3） 例4（1）如果函数的图象关于直线对称，求实数a的值； （2）如果函数的图象关于点对称，求实数a的值； 巩固训练 一、单选题 1.函数的最小正周期为( ) A. B. C. D. 2.函数图象的一条对称轴是( ) A.直线 B.直线 C直线 D.直线 3.对函数的奇偶性叙述正确的是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.奇偶性与a的取值有关 4.已知是周期为5的奇函数，且，若，则的值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5.函数的图像是（ ） 二、多选题 6.下列说法正确的是（　　） A．的定义域为R B．的最小值为1 C．为奇函数 D．的单调递增区间为 7.已知函数在区间上单调递增，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 8.已知函数，把的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（    ） A．是奇函数 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递增 D．不等式的解集为 三、填空题 9.已知函数图像的相邻两条对称轴间的距离为，则______. 10. 已知函数图像关于点对称，则______. 11. 已知函数与图像的对称轴完全重合，则函数图像的对称中心为______. 四、解答题 12.已知是定义在上的奇函数，且当时，取得最大值是2，求的值. 13.已知函数对任意实数都有. （1）求的值； （2）求的最小正值； （3）当取最小正值时，求在区间上的最大值和最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 正弦函数余弦函数的性质 例1.解：（1）令，则是周期为的函数，所以，即，即，所以的周期为． （2）同（1），有，所以的周期为． （3）同（1），有，所以的周期为． 例2 解：（1），画出函数的图象（图略），可以发现它的周期为． （2）的图象相当于把的图象在轴下方的部分翻折上去，可以发现函数周期为． （3）的图象相当于把的图象在轴下方的部分翻折上去，它的周期合好是函数周期的一半，即周期为． 例3 解：（1）是偶函数，但不是周期函数，图象如图． （2）因为，所以函数的定义域为． 又， 所以函数为奇函数． （3）由可知，，显然定义域不关于原点对称，所以函数，为非奇非偶函数． 例4（1）如果函数的图象关于直线对称，求实数a的值； （2）如果函数的图象关于点对称，求实数a的值； 解：（1）因为是函数图象的对称轴，所以对任意实数均成立.令，有，解得 （2）因为是函数图象的对称中心，所以对任意实数x均成立，令，有，解得. 巩固训练 一、单选题 1.函数的最小正周期为( ) A. B. C. D. 答案：B 2.函数图象的一条对称轴是( ) A.直线 B.直线 C直线 D.直线 答案：D 解：函数图象的对称轴方程为，． 3.对函数的奇偶性叙述正确的是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.奇偶性与a的取值有关 答案：A 解：函数的定义域为，且． 4.已知是周期为5的奇函数，且，若，则的值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 答案：B 解：由，得，所以． 5.函数的图像是（ ） 答案：A 解：由得，所以，函数的最大值是． 二、多选题 6.下列说法正确的是（　　） A．的定义域为R B．的最小值为1 C．为奇函数 D．的单调递增区间为 【答案】AC 【分析】利用正弦函数的定义域，值域，奇偶性及单调性依次判断各选项，即可得解. 【详解】对于A，的定义域为R，故A正确； 对于B，当时，函数取得最小值为，故B错误； 对于C，根据正弦函数的性质及函数的奇偶性可知为奇函数，故C正确； 对于D，根据正弦函数的性质，知的单调递增区间为，故D错误； 故选：AC 7．已知函数在区间上单调递增