2024年中考数学专题复习 正方形中的垂直问题 同步练

正方形中的垂直问题 例1．如图，在正方形ABCD中，点E是DC边的中点，AE的垂直平分线分别交AD，BC边于点F，G，垂足为点H．若AB＝4，则GH的长为 　 　． 分析：过点B作BN∥GF，交AD于点N，由正方形的性质得出AD∥BC，AD＝AB＝CD＝4，∠BAN＝∠D＝90°，推出四边形BGFN是平行四边形，BN＝GF，由AAS证得△AED≌△BNA，由勾股定理可得AE＝2FG，再证得△AFH∽△AED，可求得FH，由GH＝FG﹣FH，即可求得答案． 解：过点B作BN∥GF交AD于点N，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形，AB＝4， ∴AD∥BC，AD＝AB＝CD＝4，∠BAN＝∠D＝90°， ∴四边形BGFN是平行四边形， ∴BN＝GF， ∵AE⊥FG，BN∥GF， ∴BN⊥AE， ∴∠BNA+∠EAD＝90°， ∵∠AED+∠EAD＝90°， ∴∠BNA＝∠AED， 在△AED和△BNA中， ， ∴△AED≌△BNA（AAS）， ∴AE＝BN＝FG， ∵点E是DC边的中点， ∴DECD＝2， ∴AE2， ∴FG＝2， ∵H是AE的中点， ∴AHAE， ∵∠AHF＝∠D＝90°，∠FAH＝∠EAD， ∴△AFH∽△AED， ∴，即， ∴FH， ∴GH＝FG﹣FH＝2， 故答案为：． 例2．如图，点E，F分别在正方形ABCD的边AD，CD上，且AE＝DF，连接BE，AF，BF，BE与AF相交于点G，点H，P分别为AB，BF的中点，连接GH，GP，若GH＝4，GP＝5，则EG的长为　　． 分析：根据正方形的性质证明△ABE≌△ADF，证明BG⊥AF，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得AH＝BH＝GH＝4，BP＝FP＝GP＝5，得AB＝BC＝CD＝AD＝8，BF＝10，再根据勾股定理求出FC和AF的长，根据△GAE∽△DAF，即可得EG的长． 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAE＝∠D＝90°， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴∠ABE＝∠DAF， ∵∠DAF+∠FAB＝90°， ∴∠ABE+∠FAB＝90°， ∴∠AGB＝90°， ∴BG⊥AF， ∴∠AGB＝∠FGB＝90°， ∵点H，P分别为AB，BF的中点， ∴AH＝BH＝GH＝4，BP＝FP＝GP＝5， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝8，BF＝10， ∴FC6， ∴DF＝CD﹣FC＝8﹣6＝2， ∴AF2， ∵∠AGE＝∠D＝90°，∠GAE＝∠DAF， ∴△GAE∽△DAF， ∴， ∴EG． 故答案为：． 例3．正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，CE＝BC，点M为DC延长线上一点，连接BM，作FM⊥BM交DE于点F． （1）证明：BM＝FM． （2）连接BF并延长交AD延长线于点H，证明：MH＝AH﹣CM． 分析：（1）如图1中，连接BD，过点M作MK⊥DE于K，MT⊥BD于T．证明△MTB≌△MKF（AAS）可得结论． （2）如图2中，在AD截取AT，使得AT＝CM，连接BT．证明△HBT≌△HBM（SAS），推出HM＝TH可得结论． （1）证明：如图1中，连接BD，过点M作MK⊥DE于K，MT⊥BD于T． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BDM＝45°，∠DCB＝∠DCE＝90°， ∵CD＝DE， ∴∠CDE＝∠E＝45°， ∴∠MDB＝∠MDE， ∵MK⊥DE，MT⊥DB， ∴MT＝MK， ∵FM⊥BM， ∴∠BMF＝∠BDF＝90°， ∴∠BMT+∠DFM＝180°， ∵∠DFM+∠MFK＝180°， ∴∠MBT＝∠MFK， ∵∠MTB＝∠MKF， ∴△MTB≌△MKF（AAS）， ∴BM＝FM． （2）证明：如图2中，在AD截取AT，使得AT＝CM，连接BT． ∵∠A＝∠BCM＝90°AB＝CB，AT＝CM， ∴△BAT≌△BCM（SAS）， ∴∠ABT＝∠CBM，BT＝BM， ∴∠TBM＝∠ABC＝90°， ∵MB＝MF，∠BMF＝90°， ∴∠MBF＝45°， ∴∠HBT＝∠HBM＝45° ∵BH＝BH，BT＝BM， ∴△HBT≌△HBM（SAS）， ∴HM＝TH， ∴MH＝TH＝AH﹣AT＝AH＝CM． 练习题 1．如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，连接AE，作AE的垂直平分线交AB于G，交CD于F．若DF＝2，BG＝4，则GF的长为　 　． 2．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE＝DF；②∠AEF＝15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF＝EF；⑤△CEF为等腰直角三角形，其中正确的有　 　（填序号）． 3．在正方形ABCD中，连接AC，点E在线段AD上，连接