3.1.3函数的奇偶性 第3课时课件——2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

3.1.3 函数的奇偶性 第3课时 整体概览 （1）本节将要研究哪类问题？ （2）本节研究的起点是什么？目标是什么？ 问题1　阅读课本本节内容，回答下列问题： 复习引入 问题2　上节课我们学习了哪些知识？ 新知探究 例1　研究函数　　　的性质，并作出函数图象． 解： 要使函数表达式意义，需有x≠0，因此函数的定义域为 D＝{x∈R|x≠0}， 从而可知函数的图象有左右两部分． 设　　　　，则对任意x∈D，都有－x∈D，而且 所以函数　　　是偶函数，函数的两部分图象关于y轴对称． 4 新知探究 例1　研究函数　　　的性质，并作出函数图象． 解： 下面研究函数在区间（0，＋∞）上的性质及图象． 因为x1，x2∈（0，＋∞）时，有 所以　　　在（0，＋∞）上是减函数， 　　　 ， 又因为x∈（0，＋∞）时， 所以函数图象在右边的部分一定在第一象限． 5 新知探究 例1　研究函数　　　的性质，并作出函数图象． 解： 列出部分函数值如下表所示，然后可以描点作图． x   1 2 3   4 1     再根据函数是偶函数，可以得出函数的图象如图所示，而且函数的定义域为{x∈R|x≠0}，函数是偶函数，在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，函数的值域是（0，＋∞）． 6 新知探究 拓展：对于该函数，当且无限增大时，且无限接近于0；当且无限接近于0时，且无限增大．利用研究奇偶函数的类似方法还可以研究更一般的函数图象的性质． 新知探究 例2　研究函数　　　　　的性质，并作出函数图象． 解： 所以函数f（x）是一个奇函数． 当x＞0时，根据基本不等式x＋ ≥2可知，当且仅当x＝1时取等号， 因此x＞0时，f（x）∈［2，＋∞）． 函数的定义域为D＝{x∈R|x≠0}，因此可以看出函数的图象分为两部分，而且因为　　　　　　　　　　　　　　　， 当x1≠x2时，有 8 新知探究 例2　研究函数　　　　　的性质，并作出函数图象． 解： 当x1，x2∈（0，1］时，　　 ，即f（x）在（0， 1］上递减； 当x1，x2∈［1，＋∞）时，　　 ，即f（x）在［1，＋∞）上递增． 因此： 9 新知探究 例2　研究函数　　　　　的性质，并作出函数图象． 解： 因此，f（x）的定义域为D＝{x∈R|x≠0}，值域 为（－∞，－2］∪［2，＋∞），而且f（x）在 （0，1 ］和［－1，0）上递减，在（－∞，－1］和［1，＋∞）上递增，函数在定义域内没有最值． 描点作图，可画出x＞0时f（x）的大致图象．再根据f（x）是一个奇函数，可知其图象如图所示． 10 新知探究 例3　求证：二次函数f（x）＝x2＋4x＋6的图象关于x＝－2对称． 证明： 任取h∈R，因为 f（－2＋h）＝（－2＋h）2＋4（－2＋h）＋6＝h2＋2， f（－2－h）＝（－2－h）2＋4（－2－h）＋6＝h2＋2， 所以f（－2＋h）＝f（－2－h），这就说明函数的图象关于x＝－2对称． 11 新知探究 1．注意到f（x）＝x2＋4x＋6＝（x＋2）2＋2，由此就容易得到f（－2＋h）＝f（－2－h），从而可知f（x）图象的对称轴为x＝－2． 思维拓展： 2．二次函数对称轴的寻找，除了使用配方法来理解之外，也可以使用函数变换的思想来理解． 新知探究 3．一般地，通过函数变换可得到如下结论： 思维拓展： 这就是说，所有图象关于直线x＝a（a≠0）对称的函数，都可以由偶函数经过平移得到；所有图象关于某一个点（不是原点）对称的函数，都可以由奇函数经过平移得到． （1）函数f（x）的图象关于x＝a对称，当且仅当f（x＋a）为偶函数； （2）函数f（x）的图象关于（a，b）对称，当且仅当f（x＋a）－b 为奇函数． 新知探究 【探索与研究】（1）如果一个函数是奇函数，那么其值域具有什么特点？ （2）怎样才能证明函教的图象关于点（3，0）对称？一般地，怎样证明函数的图象关于点（a，b）对称？ （1）如果一个函数是奇函数，那么其值域一定关于原点对称．更进一步，此时如果函数在x0处取得最大值M，那么该函数在－x0处取得最小值－M． 新知探究 【探索与研究】（1）如果一个函数是奇函数，那么其值域具有什么特点？ （2）怎样才能证明函教的图象关于点（3，0）对称？一般地，怎样证明函数的图象关于点（a，b）对称？ （2）设函数f（x）的定义域为D； 如果对于任意的3－x∈D，都有3＋ x∈D，且f（3－x）＝－ f（3＋x），那么函数f（x）的图象关于点（3，0）对称；如果对于任意的a－x∈D，都有a＋x∈D． 且f（a－x）＋ f（a＋x）＝2b，那么函数f（x）的图象关于点（a，b）对称． 巩固练习 设f（x）是R上的偶函数，且在[0，＋∞）上单调递增，则f（－2），f（－π）