6.3.1 平面向量基本定理（四大考点）-2023-2024学年高一数学考点剖析及精准练习（人教A版2019必修第二册）

6.3.1平面向量基本定理 1.通过力的分解引出平面向量基本定理,体会平面向量基本定理的形成过程,重点培养数学抽象及直观想象的核心素养； 2.通过平面向量基本定理的应用,强化直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养. 平面向量基本定理 1.平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使. 2.基底:我们把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一个基底,记作 3.对平面向量基本定理的理解 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． （2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． 考点01基底的概念及辨析 1．判断正误． （1）平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底．( ) （2）零向量可以作为基向量．( ) （3）平面向量基本定理中基底的选取是唯一的．( ) 2．下列说法错误的是（    ） A．一条直线上的所有向量均可以用与其共线的某个非零向量表示 B．平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个向量表示 C．平面上向量的基底不唯一 D．平面内的任意向量在给定基底下的分解式唯一 3．如果，是平面内所有向量的一组基底，那么（        ） A．若实数，，使，则 B．空间任一向量可以表示为，这里，是实数 C．，不一定在平面内 D．对平面内任一向量，使的实数，有无数对 4．设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．（多选）已知向量、不共线，则下列各组向量中，能作平面向量的一组基底的有（    ） A． B． C． D． 6．已知向量与为一组基底，若与平行，则实数 . 考点02用基底表示向量 7．在中，，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，在边长为2的等边三角形中，点为中线的三等分点靠近点，点为的中点，则 （   ）    A． B． C． D． 9．在中，点在边上，且．点满足．若，，则（    ） A． B． C． D．3 10．在中，点D在边AB上且满足，E为BC的中点，直线DE交AC的延长线于点F，则（    ） A． B． C． D． 11．如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于． (1)用和表示； (2)求证：． 12．如图，在中，，E是AD的中点，设，．    (1)试用，表示，； (2)若，与的夹角为，求． 13．在中，E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点． (1)分别用向量，表示向量，； (2)若点N满足，证明：B，N，E三点共线． 考点03利用平面向量基本定理求参数 14．已知平行四边形中，，若，则 ． 15．已知中，分别为边上的点，且，.与的交点为，若，则 . 16．在中，是边上一点，且，点为的延长线上一点，写出使得成立的，的一组数据为 ．    17．在中，过重心的直线交边于点，交边于点（、为不同两点），且，则的最小值为 . 18．如图，正方形中，，是线段上的动点且（），则的最小值为 ． 19．在中，在上，且，在上，且.若，则 . 20．如图，在中，，，AD与BC相交于点M.设，.    (1)试用基底表示向量； (2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，若，，求的值. 考点04平面向量基本定理的应用 21．已知是所在平面内一点，若均为正数，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 22．如图，在中，中线AD、BE、CF相交于点G，点G称为的重心，那么是（    ）    A．3∶2 B．2∶1 C．3∶1 D．4∶3 23．在中，点是上一点，点满足，与的交点为．有下列四个命题： 甲：                    乙： 丙：                    丁： 如果只有一个是假命题，则该命题为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 24．（多选）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点是边BC的中点 B．若，则点是边BC的三等分点 C．若，则点是边的重心 D．若，且，则的面积是面积的 25．已知中，D，E分别为线段AB，BC上的点，直线AE，CD交于点P，且满足，则的值为 . 26．如图，在中，是上一点，是上一点，且，过点作直线分别交于点. (1)用向量与表示； (2)若，求和的值. 基础过关练 1．下列有关平面向量分解定理的四个命题： （1）一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基； （2）一