6.2.4 平面向量的数量积运算（六大考点）-2023-2024学年高一数学考点剖析及精准练习（人教A版2019必修第二册）

6.2.4平面向量的数量积运算 1.了解平面向量数量积的物理背景. 2.掌握平面向量数量积的定义、性质、运算律,理解其几何意义. 一、向量的夹角 （1）如图,已知两个非零向量,O是平面上的任意一点,作,则叫做向量与的夹角. 显然,当时,与同向;当时,与反向. （2）如果与的夹角是,我们说与垂直,记作. 二、向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积),记作,则 规定:零向量与任一向量的数量积为0. 三、向量的投影向量 （1）如图（1）, 设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量在向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. （2）如图（2）,在平面内任取一点O,作,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量. （3）设与方向相同的单位向量为,与的夹角为,对任意的,都有 四、向量数量积的性质 设向量与都是非零向量,它们的夹角为,是与方向相同的单位向量,则 （1）；（2）；（3）； 【注】当与同向时, ；当与反向时，. （4）；（5）或 五、数量积运算的运算律 （1）；（2）；（3） 考点01数量积的定义及运算律 1． 都为向量，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．2 3．已知向量、满足，，且与夹角的余弦值为，则（    ） A． B． C． D．12 4．已知向量，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 5．下列结论中正确的有 ． ①“与共线”是“存在实数使”的必要非充分条件 ②；③或；④； ⑤，其中；⑥若，则为钝角； 6．已知向量与的夹角为，且，求： (1)； (2)． 考点02向量模的有关计算 7．已知平面向量，均为单位向量，且它们的夹角为，则（    ） A．7 B．3 C． D．1 8．若单位向量，的夹角为，则当取得最小值时，的值为（   ） A．－2 B．－1 C． D． 9．设向量和满足，，则=（    ） A． B． C． D． 10．已知向量满足，则 . 11．已知平面向量，满足，，，则实数k的值为（    ） A．1 B．3 C．2 D． 12．已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．已知向量满足，则 ． 考点03向量夹角的有关计算 14．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 15．已知向量与满足，且，则向量与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 16．已知向量，，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 17．已知，，，若与的夹角为锐角，则实数t的取值范围是 ． 18．已知两单位向量与夹角为 ，若，试求与 的夹角的余弦值． 19．已知，，. (1)求； (2)求向量与的夹角的余弦值. 20．已知，，与的夹角为60°．若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 考点04向量垂直的有关计算 21．若平面向量，的夹角为60°，且，则（    ） A． B． C． D． 22．若向量，满足，，，则 . 23．已知向量，，其中，，，若，则实数的值为 . 24．若平面向量，，则与夹角的正切值是 . 25．已知向量满足，且的夹角为. (1)求的模； (2)若与互相垂直，求λ的值. 考点05投影向量的有关计算 26．若向量满足，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 27．已知是两个单位向量，若在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 28．已知是相互垂直的单位向量.若向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 29．已知非零向量与满足在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 30．校考阶段练习）已知向量不共线，满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 考点06平面几何与数量积运算 31．八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹．八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样．八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉．八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹．图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如△ACD）为等腰直角三角形，点O为圆心，中间部分是正方形且边长为2，定点A，B所在位置如图所示，则的值为（    ） A