18.2.3正方形课件2023-2024学年 人教版数学八年级下册

18.2.3 正方形 八年级下 人教版 1. 理解正方形的概念，以及它与平行四边形、矩形、菱形之间的关系； 2. 能熟练运用正方形的性质和判定进行计算和证明． 学习目标 重点 难点 新课引入 正方形是我们熟悉的几何图形，它的边、角有什么特点？ 正方形的四条边都相等，四个角都是直角. 以上问题学生回答言之有理即可 正方形的定义： 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 两层含义 (1) 有一组邻边相等的平行四边形 (菱形) (2) 并且有一个角是直角的平行四边形 (矩形) 新知学习 一 正方形的定义及其性质 由正方形的定义可知： 正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形. 思考 正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形.正方形有哪些性质？ 正方形具有矩形，菱形的所有性质. 平行四边形 矩形 菱形 正方形 归纳 正方形的性质 边 对边平行 四边相等 角 对角线 对角线相等 对角线互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 ：四个角相等且都是直角 A B D C O 探究 正方形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 正方形是轴对称图形，有四条对称轴，分别是两条对角线所在的直线以及对边中点的连线. 例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC、BD 相交于点 O. 求证：△ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO 是全等的等腰直角三角形. 证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AC = BD，AC⊥BD，AO = CO = BO = DO ∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO 都是等腰直角三角形， 并且△ABO ≌△BCO ≌△CDO ≌△DAO. 图中共有多少个等腰直角三角形？ 图中共有多少个等腰直角三角形？ 8个，△ABO、△BCO、△CDO、△DAO、△ABD、△BCD、△ABC、△ACD. 探究1 怎样判定一个矩形是正方形？ 二 正方形的判定 矩形：对角线相等且互相平分 正方形：对角线相等且互相垂直平分 ❓ 对角线互相垂直？ 已知：在矩形ABCD中，AC⊥BD. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明： ∵四边形ABCD是矩形, A B D C O ∴OA=OB=OC=OD，∠BAD=90〫. ∵AC⊥BD, ∴AC是线段BD的垂直平分线. ∴AB=BC=CD=DA, ∴四边形ABCD是正方形. 同理：BD是线段AC的垂直平分线, 数学语言： 在矩形ABCD中， ∵ AC⊥BD, ∴四边形ABCD是正方形. A B D C O 归纳 对角线互相垂直的矩形是正方形. 通过以上证明，我们得到正方形的一个判定： 探究2 怎样判定一个矩形是正方形？ 矩形：对边相等 且平行 正方形：四边相等且对边平行 ❓ 邻边相等？ 已知:在矩形ABCD中，AB=BC. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明： ∵四边形ABCD是矩形, A B D C ∴∠B=90〫，四边形ABCD是平行四边形. ∵AB=BC, ∴四边形ABCD是正方形. 归纳 有一组邻边相等的矩形是正方形. 通过以上证明，我们得到正方形的一个判定： 数学语言： 在矩形ABCD中， ∵AB=BC， ∴四边形ABCD是正方形. A B D C O 探究3 怎样判定一个菱形是正方形？ 菱形：对角线垂直且互相平分 正方形：对角线相等且互相垂直平分 ❓ 对角线相等？ 已知：在菱形ABCD中，AC,BD是两条对角线，且 AC=BD. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明： ∵四边形ABCD是菱形， A B D C O ∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD. ∵AC=BD， ∴OA=OB=OC=OD， ∴△AOB ，△BOC是等腰直角三角形， ∴四边形ABCD是正方形. ∴∠ABC=90〫, 归纳 对角线相等的菱形是正方形. 通过以上证明，我们得到正方形的一个判定： 数学语言： 在菱形ABCD中， ∵ AC=BD, ∴四边形ABCD是正方形. A B D C O 探究4 怎样判定一个菱形是正方形？ 菱形：对角相等 正方形：四个角相等，都为90° ❓ 有一个角为直角？ 已知：在菱形ABCD中，∠A=90〫. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明： ∵四边形ABCD是菱形, A B D C ∴AB=BC=CD=DA， 四边形ABCD是平行四边形, ∵∠A=90〫, ∴四边形ABCD是正方形. 归纳 有一个角是直角的菱形是正方形. 通过以上证明，我们得到正方形的一个判定： 数学语言： 在菱形ABCD中，∵ ∠A=90〫, ∴四边形ABCD是正方形. A B D C O 一个角是直角 或对角线相等 一组邻边相等 或对角线相互垂直 一组邻边相等 或对角线相互垂直 一个