18.1.2平行四边形的判定 课件2023-2024学年人教版数学八年级下册

18.1.3 平行四边形的判定 八年级下 人教版 1.探索并证明平行四边形的判定定理. 2.能熟练运用平行四边形的判定定理去计算和证明. 学习目标 重点 难点 平行四边形的性质有哪些? 平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分. 该怎样判定一个四边形是平行四边形呢? 新课引入 以上问题学生回答言之有理即可 问题1 如何寻找平行四边形的判定方法? 类比直角三角形的判定,你有思路了吗? 新知学习 直角三角形的性质 勾股定理 勾股定理逆定理 直角三角形的判定 问题2 在过去的学习中,类似的情况还有吗?请举例说明. 两直线平行,同位角相等. 同位角相等,两直线平行. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等. 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 我们发现:性质和判定互为逆命题. 性质 判定 平行四边形的性质 猜 想 (判 定) 对边相等 对角相等 对角线互相平分 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 逆向思考,提出猜想: 这些猜想正确吗? 猜想1:两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 如图,在四边形 ABCD 中,AB = CD,AD = BC. 求证:四边形 ABCD 是平行四边形. 证明:连接 BD,如图. ∵AB=CD,AD=BC,BD=DB, ∴ ABD ≌ CDB ∴∠1=∠2,∠3=∠4. ∴AB∥DC,AD∥BC ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 1 2 3 4 归纳 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 平行四边形判定定理1: A B C D 数学语言: ∵ AB=CD,AD=BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. 猜想2:两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 如图,在四边形 ABCD 中,∠A = ∠C,∠B = ∠D. 求证:四边形 ABCD 是平行四边形. 证明:∵∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360 . ∠A = ∠C,∠B = ∠D, ∴∠A + ∠B = 180 ,∠B + ∠C = 180 . ∴AD∥BC,AB∥DC. ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 归纳 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 平行四边形判定定理2: A B C D 数学语言: ∵ ∠A=∠C,∠B=∠D, ∴四边形ABCD是平行四边形. 猜想3:对角线互相平分的四边形是平行四边形. 如图,在四边形 ABCD 中,AC,BD 相交于点 O,且 OA = OC,OB = OD. 求证:四边形 ABCD 是平行四边形. 证明:∵ OA = OC,OB = OD, ∠AOD = ∠COB ∴ AOD ≌ COB ∴∠OAD = ∠OCB. ∴AD∥BC 同理 AB∥DC. ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 归纳 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 平行四边形判定定理3: 数学语言: A B C D O ∵ OA=OC , OB=OD, ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 由上我们知道,平行四边形的判定定理与相应的性质定理互为逆定理.也就是说,当定理的条件与结论互换以后,所得命题仍然成立. 这张图揭示了定义、性质、判定间的逻辑关系,提供了研究几何图形的一般思路. 例1 如图, ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,E,F是 AC上的两点,并且 AE=CF. 求证:四边形 BFDE 是平行四边形. A B C D O E F 分析:点E,F在平行四边形的对角线上,可考虑利用对角线互相平分来证明四边形BFDE是平行四边形. 证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AO=CO, BO=DO. ∵ AE=CF, ∴ AO-AE=CO-CF, 即EO=FO. 又 BO=DO, ∴ 四边形BFDE是平行四边形. A B C D O E F 变式 如图, ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,点 E,F 分别在 AC 两侧的延长线上,且 AE=CF. 求证:四边形 BFDE 是平行四边形. O 证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴OA = OC,OB = OD, ∵AE = CF,OE = AO + AE,OF = OC + CF, ∴OE = OF, 又∵OB = OD, ∴四边形 BFDE 是平行四边形. 思考 我们知道,两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形.如果只考虑四边形的一组对边,它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢? 猜想:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 我们知道,如果一个四边形是平行四边形,那么它的任意一组对边平行且相等.反过来,一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗? 如图,在四边形 ABCD 中,AB = DC,AB∥DC. 求证:四边形 ABCD 是平行四