1.5平方差公式 第2课时 平方差公式的应用 课件 2023-2024学年北师大版数学七年级下册

1.5平方差公式第2课时平方差公式的应用 七年级下 北师版 1.掌握平方差公式，会进行平方差公式的变形计算. 2.应用平方差公式解决实际问题，培养数学感知能力. 学习目标 难点 重点 新课引入 如图1,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形. a b 图1 (1)请表示图1中的阴影部分的面积. a2-b2 (2)小颖将阴影部分拼成了一个长方形(图2)，这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？ 长=a+b; 宽=a-b; 面积= (a+b)(a-b) (3) 比较(1)(2)的结果，你能验证平方差公式吗？ a b 图2 a a b b a + b a - b b b 方法一： 新知学习 a a b b a2-b2 a b b b (a+b)(a-b) (a+b)(a-b)=a2-b2 a-b a-b 方法二： 方法三：如图①，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②的等腰梯形．设图①中阴影部分面积为S1，图②中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1，S2； 解： S1＝a2－b2， S2＝ (2b＋2a)(a－b) ＝(a＋b)(a－b)． 所以S1＝S2＝(a＋b)(a－b)＝ a2－b2. 想一想 (1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特点: (2)从以上的过程中，你发现了什么规律？ (3)请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗? 7×9= 8×8= 11×13= 12×12= 79×81= 80×80= 63 64 143 144 6399 6400 两个连续奇数的积等于中间所夹偶数平方减1. (a＋1)(a－1)＝ a2－1. 例1 计算:(1)103×97. (2)704×696. 解：(1)103×97 =(100+3)(100-3) =10000-9 =9991. =100²-3² 解：(2)704×696 =(700+4)(700-4) =490000-16 =489984. =700²-4² 例2 计算: (1)a2(a＋b)(a－b)+a2b2. (2)(2x＋5)(2x－5)-2x(2x－3) 解：(1)a2(a＋b)(a－b)+a2b2 =a2(a2－b2)+a2b2 =a4 =a4－a2b2+a2b2 解：(2)(2x＋5)(2x－5)-2x(2x－3) =(2x)2－25-(4x2－6x) =6x－25 =4x2－25-4x2+6x 归纳 应用平方差公式计算时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用. 例3 对于任意的正整数n，整式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值一定是10的整数倍吗？ 即(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值是10的倍数． 解：原式＝9n2-1-(9-n2) ＝10n2-10. 因为(10n2-10)÷10=n2-1. n为正整数， 所以n2-1为整数 方法总结：在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系． 1.如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，小明将图①的阴影部分拼成了一个长方形，如图②，这一过程可以验证 (　　)A．a2＋b2－2ab＝(a－b)2B．a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2C．2a2＋b2－3ab＝(2a－b)(a－b)D．a2－b2＝(a＋b)(a－b) D 随堂练习 2.如图①是由一个方鉴和一个方尊缶组成的青铜冰鉴．其从上面看到的图形如图②所示，已知大正方形与小正方形的边长和为1.1 m，差为0.5 m，则阴影部分的面积为________m2. 第2题图 0.55 3.计算： (1) 51×49; (2)102 × 98. 解: 原式=(50＋1)(50－1) = 502-12 =2500 – 1 =2499 解: 102×98 = 1002-22 =10000 – 4 =(100＋2)(100－2) =9996 (3) 1998×2002. (4) 992-1 解：(3)1998×2002 =(2000-2)(2000+2) =4000 000-4 =3999996. =2000²-2² 解： (4) 992-1 =(99+1)(99-1) =98