专题05平面向量的数量积-2023-2024学年高一数学教学同步知识归纳与分层小练（人教A版2019必修第二册）

05平面向量的数量积 一、知识归纳： 1.向量的夹角 （1）已知两个非零向量，为平面上任意一点，作，则 叫做与的夹角. （2）当非零向量同向时，它们的夹角为__；当非零向量同反向时，它们的夹角为 ； （3）如果非零向量的夹角为 ，则说与垂直，即为. （4）非零向量夹角的范围为 . 2.向量的数量积及其几何意义 （1）已知非零向量，它们的夹角为，我们把数量 叫做与的数量积（或内积）， 记为即. （2）规定零向量与任一向量的数量积为 . （3）设是两个非零向量，，过的起点和终点作所在的直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为 ，向量 叫做向量在向量上的投影向量. （4）向量在向量上的投影向量为 . 3.数量积的性质 （1）设是两个非零向量，是与同向的单位向量，则： ①；②；③同向等价于 ；反向等价于 ； ④，；⑤. （2）运算律：①；②；（3）. 注意：与向量共线，与向量共线，因此，在一般情况下不成立．　 4.求向量的数量积时，需明确两个关键点： （1）相关向量的模和夹角． （2）若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简． 自检自纠： 1.（1）；（2）0；；（4）；（5）. 2.（1）；（2）0；（3）向量向向量投影，；（4）. 3.（1）①；②；③； ；⑤. （2）①；②；（3）. 二、分层小练 A.基础训练 一、单选题：（每小题5分，共30分） 1．若，满足，，，的夹角为，则的值为（    ） A． B． C．1 D．0 2．已知平面向量与的夹角为，且满足，，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量满足则（    ） A．3 B．49 C．6 D．7 4．已知向量均为单位向量，且，则（    ） A．2 B． C．4 D． 5．已知向量、满足，，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知向量，，，若，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题5分，有错选0分，有漏选得2分，共10分） 7．已知是三个非零向量且互不共线，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B． C．，则 D． 8．已知非零向量，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D． 三、填空题（每小题5分，共10分） 9．已知向量与的夹角为，，，则在方向上的投影向量为 ． 10．若为单位向量，且，则在方向上的投影向量为 ． B.提升强化 一、单选题：（每小题5分，共30分） 1．已知向量，满足，且与的夹角为，则（    ） A．12 B．4 C．3 D．1 2．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．已知非零向量，满足，，若与的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 4．在中，设，，且，，，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，是的中点，则（    ）． A． B． C． D． 6．已知是边长为4的正三角形的边上的动点，则（    ） A．最大值为16 B．是定值24 C．最小值为4 D．是定值4 二、多选题（每小题5分，有错选0分，有漏选得2分，共10分） 7．给出下列四个命题，其中正确的选项有（    ） A． B．若，则 C．若，则为等腰三角形 D．非零向量，满足，则与的夹角是 8．已知点O为所在平面内一点，，则下列选项正确的是（    ） A． B．直线AO必过BC边的中点 C． D．若，则 三、填空题（每小题5分，共10分） 9．已知，，且，则 ． 10．已知菱形的边长为6，，点分别在边上，，，则＝ ． 试卷第2页，共4页 2 / 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 05平面向量的数量积 一、知识归纳： 1.向量的夹角 （1）已知两个非零向量，为平面上任意一点，作，则 叫做与的夹角. （2）当非零向量同向时，它们的夹角为__；当非零向量同反向时，它们的夹角为 ； （3）如果非零向量的夹角为 ，则说与垂直，即为. （4）非零向量夹角的范围为 . 2.向量的数量积及其几何意义 （1