2024年中考数学专题复习：用活直角三角形斜边上的中线 讲义

用活直角三角形斜边上的中线 例．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点E，F分别在AB，AC上，且AE＝EF，点O，M分别为AF，CE的中点．求证： （1）OMCE； （2）OBOM． 分析：（1）连接OE，根据等腰三角形的性质得到EO⊥AF，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半证明； （2）连接BM，证明△OMB为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质解答． 证明（1）连接OE， ∵AE＝EF，O是AF的中点， ∴EO⊥AF，又点M为CE的中点， ∴OMCE； （2）连接BM， ∵AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠ACB＝45°， ∵∠ABC＝90°，点M为CE的中点， ∴BMCE＝MC， ∴OM＝BM，∠OMB＝∠OME+∠BME＝2（∠ACE+∠BCE）＝90°， ∴OBOM． 点对点集训 1．已知：如图△ABC中，BD和CE是三角形的高，M为BC的中点，P为DE的中点．求证：PM⊥DE． 【分析】连接ME、ME，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD＝MEBC，再根据等腰三角形三线合一的性质证明． 2．如图，在矩形ABCD中，BC＝2，AB＝4，O为边AB的中点，P为矩形ABCD外一动点，且∠APC＝90°，则线段OP的最大值为 　 ． 分析：连接AC，取AC的中点E，连接OE，PE，根据矩形的性质可得AC的长，根据三角形中位线定理可得OE的长，再根据直角三角形的性质可得PE的长，根据三角形三边关系即可确定OP的最大值． 3．如图，已知：△ABC中，AD是高，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE，G是垂足．求证： （1）G是CE的中点； （2）∠B＝2∠BCE． 分析：（1）证G是CE的中点，即GE＝CG，可证它们所在的三角形全等，即连接DE，证△EDG≌△CDG； （2）由（1）知：△CDE是等腰三角形，则BE＝DE＝CD，可得∠B＝∠EDB＝2∠BCE． 4．已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD＝∠ACE＝90°．如图甲，连接DE，设M为DE的中点． （1）说明：MB＝MC； （2）设∠BAD＝∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图乙的位置，试问：MB＝MC是否还能成立？并证明其结论． 分析：（1）在AD上取点P，MP∥CE∥BD，再根据平行线分线段成比例定理可得P是BC的中点，再由线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等即可求解； （2）取AD、AE的中点F、G，连接BF、MF、MG、CG，由M是BE的中点可知，线段MG、MF都是△ADE的中位线，根据三角形的中位线定理及平行四边形的判定定理可判断MFAG是平行四边形，可用AD．AE表示出MG．MF的长，再由直角三角形的性质可求出BF的长，再根据∠BAD＝∠CAE通过等量代换可得∠BFM＝∠MGC，可求出△BFM≌△MGC，由三角形全等即可得出答案． 5．[感知] 如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，求证：CDAB． 小明的思路如下：证明：如图①，延长CD至点E，使DE＝CD，连接AE、BE．结合图①，补全证明过程； [拓展] （1）如图②，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，点E、F分别是BC、CA的中点，连接DE、DF，且DE＝3，DF＝4，则AB＝　 　； （2）如图③，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在边BC上，连接CE，若M、N分别为AC、DE的中点，AC＝2，DE＝4，则MN＝　 　． 【分析】[感知]延长CD至点E，使DE＝CD，连接AE、BE，证明四边形EBCA为矩形，根据矩形的性质得到AB＝EC，进而证明结论； [拓展]（1）根据直角三角形的性质分别求出BC、AC，根据勾股定理计算即可； （2）连接AN、CN，证明△BAD≌△CAE，得出∠BCE＝90°，根据直角三角形的性质求出NC，根据等腰三角形的三线合一得到NM⊥AC，根据勾股定理计算，得到答案． 6．在△ABC中，∠ABC＝90°，点E在直线AB上，ED垂直于直线AC，垂足为D，M为EC的中点，连结BM，DM． （1）如图①，若点E在线段AB上，判断线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系，请直接写出你的结论； （2）如图②，若点E在BA的延长线上，（1）中的结论是否发生变化？若不变，请加以证明；若变化，请写出你的猜想，并说明理由． 分析：（1）根据直角三角形的性质得到BM＝DM，∠MCB＝∠MBC，∠MCD＝∠MDC，根据三角形的外角性质解答即可； （2）仿照（1）的证明方法解答． 7．已知：在Rt△ABC中，AB＝BC，在Rt△ADE中，AD＝DE，连接EC，取EC的中点M，连接DM和