第01讲 平面向量的概念及其加、减、数乘运算（精讲）-2023-2024学年高一数学高频考点题型归纳与方法总结（人教A版2019必修第二册）

2023-2024学年高一数学高频考点题型归纳与方法总结 第01讲 平面向量的概念及其加、减、数乘运算（精讲） ①平面向量的有关概念及其辨析 ②平面向量的线性运算（加、减、数乘） ③利用向量加减法判断平面图形的几何形状 ④平面向量共线的判定及应用 一、向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）特殊向量：①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 二、向量的线性运算和向量共线定理 （1）向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相反； 当时， 注：①向量表达式中的零向量写成，而不能写成0． ②两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系． 三、向量共线定理和性质 （1）共线向量定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． （2）三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点． 若A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得存在唯一的实数，使得 存在唯一的实数，使得存在，使得． （3）中线向量定理 如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． D A C B 【常用结论】 ①向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量． 即． ②特别地：或当且仅当至少有一个为时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立． ③、、三点共线，这是直线的向量式方程． 题型一：平面向量的有关概念及其辨析 策略方法 解答与向量有关概念的四个关注点 (1)平行向量就是共线向量，二者是等价的． (2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，可以比较大小． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈． (4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量． 总结：解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长度,只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题. 【例1】（多选题）下列说法正确的是（    ） A．平行向量是指方向相同或相反的两个非零向量 B．零向量是 C．长度相等的向量叫做相等向量 D．共线向量是在一条直线上的向量 【答案】AB 【分析】根据平行向量、零向量、相等向量、共线向量的定义，即可知正确选项. 【详解】A：由定义：平行向量是方向相同或相反的非零向量，正确； B：零向量记作，正确； C：方向相同且长度相等的向量叫相等向量，错误； D：共线向量所在直线可能重合，也可能平行，错误； 故选：AB. 一、单选题 1．（2024下·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（   ） A．向量的模是一个正实数 B．若与不共线，则与都是非零向量 C．共线的单位向量必相等 D．两个相等向量的起点、方向、长度必须都相同 2．（2024·全国·高一专题练习）设是单位向量，，，，则四边形是（ ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 3．（2024上·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）设点是正三角形的中心，则向量，，是（    ） A．共起点的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．相等向量 二、多选题 4．（2024·全国·高一专题练习）下列结论中，错误的是（ ） A．表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同； B．若，则，不是共线向量； C．若，则四边形是平行四边形； D．有向线段就是向量，向量就是有向线段. 5．（2024下·全国·高一专题练习）已知非零向量、，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 6．（2024下·全国·高一专题练习）下列说法中正确的是 ①若向量与向量不平行，则与的方向一定不相同； ②任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边