17.1勾股定理-2023-2024学年人教版八年级数学下册分层优化堂堂清

八年级数学下分层优化堂堂清 第17章 勾股定理 17.1 勾股定理 学习目标： 1. 了解勾股定理的发现过程，能灵活应用拼图法验证勾股定理。 2. 掌握勾股定理的内容，能应用勾股定理求线段的长，会确定数轴上表示实数的点及解决网格问题。 3. 能从实际问题中抽象出直角三角形模型，并能用勾股定理进行有关的计算和证明。 一、基础提升 教材核心知识点精讲精练 知识点一、勾股定理 1.勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。 如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 2. 基本思想方法 勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这一“形”与三边的关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范。 特别提醒： 1. 勾股定理是揭示的是直角三角形的三边之间的等量关系，只有在直角三角形中才能使用勾股定理。 2. 应用勾股定理时，要分清直角边与斜边，尤其在应用时斜边只能是C，若b为斜边，则关系式为a2+c2=b2，若a为斜边，则 关系式为b2+c2=a2. 3. 利用勾股定理时，若不确定那条边是斜边，则要分类讨论，写出所有可能，以免漏解或错解。 例1-1．已知直角三角形的两条直角边长分别为1，2，则这个直角三角形的斜边的长为_______. 针对练习1 1．直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边中线的长是_____. 2．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为6，10，4，6，则最大正方形E的面积是( ) A.94 B.26 C.22 D.16 3．如图，在中，，，，点P是AB上的动点，则CP的最小值为( ) A.5 B. C. D.6 4．如图，在中，，，以AB，AC为边作正方形，这两个正方形的面积和为( ) A.6 B.36 C.16 D.49 5．如图，在中，，，，求的长. 6．已知在中，，，求的长. 解题策略 已知直角三角形的两边求第三边时，必须先明确哪条边是斜边，哪条边是直角边，然后决定用勾股定理原式还是变式，若没有明确说明，则分类讨论。 知识点二、勾股定理的证明 1. 常用证法 通过拼图构造特殊图形，并利用拼图中各部分面积之间的关系来验证。这种方法以数形转换为指导思想，图形接补为手段，以各部分面积之间的关系为依据而达到目的。 2. 著名证法 赵爽“勾股圆方图”、刘徽“青朱出入图”、加菲尔德拼图、毕达哥拉斯拼图、欧几里得证法等...... 方法总结： 1. 勾股定理是通过等积法来验证的，同一个图形用两种不同的方法计算出的面积相等。 2. 勾股定理的验证是将“形”的问题转化成“数”的问题来解决的，体现了数形结合思想。 3. 图形通过切割、拼接后只要没有重叠，没有空隙，面积就不会改变。 例2-1．数学活动中，小明和同学动手拼图发现：两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形，可以拼成如图所示的直角梯形. （1）请你用两种不同的方法计算这个图形的面积，你能发现a、b、c之间有什么数量关系呢？请证明你的发现. （2）若这个直角梯形的上下底之差为，高为，请计算一下的面积. 针对练习2 1．如图是证明勾股定理的一种方法：用4个全等的直角三角形，拼成一个图形，请你利用面积证明勾股定理的真实性. 2．图1为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就.根据该图，赵爽用两种不同的方法计算正方形的面积，通过正方形面积相等，从而证明了勾股定理.现有4个全等的直角三角形（图2中灰色部分），直角边长分别为a，b，斜边长为c，将它们拼合为图2的形状. （1）小诚同学在图2中加了相应的虚线，从而轻松证明了勾股定理，请你根据小诚同学的思路写出证明过程； （2）当，时，求图2中空白部分的面积. . 3．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第117页的部分内容. 把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上，利用此图的面积表示式证明勾股定理. (1)请结合图①，写出完整的证明过程； (2)如图②，等腰直角三角形ABC，，，P是射线BC上一点，以AP为直角边在AP边的右侧作，使，过点D，作于点E，当时，则______. 4．课堂上，王老师给出如图所示甲、乙两个图形，能利用面积验证勾股定理的是( ) A.甲行、乙不行 B.甲不行、乙行 C.甲、乙都行 D.甲、乙都不行 5．在学习勾股定理时，甲同学用四个相同的直角三角形(直角边长分别为a，b，斜边长为c)构成如图所示的正方形；乙同学用边长分别为a，b的两个正方形和长为b，宽为a的两个长方形构成如图所示的正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以