6.4.1&6.4.2 平面几何中的向量方法与向量在物理中的应用举例（精练，8题型）-2023-2024学年高一数学同步讲义与对点练（人教A版2019必修第二册）

6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例 题型一 用向量解决长度、夹角问题 题型二 用向量解决共线、垂直问题 题型三 用向量解决几何最值（范围）问题 题型四 向量在物理中的应用 题型一 用向量解决长度、夹角问题 1．（2022下·江苏无锡·高一无锡市第一中学校考期中）在中，，，为的重心，若，则外接圆的半径为(    ) A． B．1 C．2 D． 2．（2023上·广东广州·高二广州市第二中学校考阶段练习，多选）在中，已知，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，下列结论正确的是（    ） A． B． C．的余弦值为 D． 3．（2023下·河北石家庄·高一石家庄市第四中学校考阶段练习）已知的夹角为，则三角形的边上中线的长为 . 4．（2022下·湖北·高一校联考期中）如图，在中，已知，，，，，线段AM，BN相交于点P，则的余弦值为 . 5．（2023下·上海·高三校联考阶段练习）已知是的外心，且，则 ． 6．（2023下·山东聊城·高一统考期末）如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则 ．    7．（2023下·贵州贵阳·高一贵阳市民族中学校联考阶段练习）如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x，y轴正半轴上，，，点E为AB上一点    (1)若，求AE的长； (2)若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求． 8．（2024上·河南新乡·高三新乡市第一中学校考阶段练习）如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P， (1)求； (2)求的正弦值. 题型二 用向量解决共线、垂直问题 1．（2023上·广东佛山·高二华南师大附中南海实验高中校考期中）已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 2．（2021上·广东佛山·高二校考期中，多选）已知点，，，，则以下四个结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023上·北京丰台·高三统考期中）如图，已知BD是圆O的直径，AC是与BD垂直的弦，且AC与BD交于点E，点P是线段AD上的动点，直线交BC于点Q． 当取得最小值时，下列结论中一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 4．（2023上·北京丰台·高二统考期中）已知，，三点共线，则 . 5．（2023下·广东清远·高一校联考期中）如图所示，已知的顶点，，．    (1)求顶点D的坐标； (2)已知点，判断A，M，C三点的位置关系，并做出证明． 6．（2023下·山东·高一滨州一中校联考期中）如图，为半圆的直径，，为上一点（不含端点）. (1)用向量的方法证明； (2)若是上更靠近点的三等分点，为上的任意一点（不含端点），求的最大值. 7．（2021下·福建泉州·高一泉州五中校考期中）在中，，对任意，有. （1）求角； （2）若，，且、相交于点.求证：. 题型三 用向量解决几何最值（范围）问题 1．（2023上·四川·高三校联考阶段练习）如图，在中，D为的中点，，，是圆心为C、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023上·北京海淀·高三统考期中）在等腰直角三角形中，为斜边的中点，以为圆心，为半径作，点在线段上，点在上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·模拟预测）如图，在四边形中，已知，，，点在边上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024上·北京大兴·高三统考期末）如图是六角螺母的横截面，其内圈是半径为1的圆，外框是以为中心，边长为2的正六边形，则到线段的距离为 ；若是圆上的动点，则的取值范围是 .    5．（2023·天津河西·统考一模）在梯形中，，且，，分别为线段和的中点，若，，用，表示 ．若，则余弦值的最小值为 ． 6．（2023·全国·安阳市第二中学校联考模拟预测）已知与为相反向量，若，，则，夹角的余弦的最小值为 ． 7．（2021下·浙江湖州·高一统考期末）如图，是单位圆（圆心为）上两动点，是劣弧（含端点）上的动点.记（均为实数 (1)若到弦的距离是， （i）当点恰好运动到劣弧的中点时，求的值； （ii）求的取值范围； (2)若，记向量和向量的夹角为，求的最小值. 题型四 向量在物理中的应用 1．（2023下·河南开封·高二校考期中）平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，，与的夹角为，则大小为（    ） A． B．4N C． D． 2．（2023下·河南新乡·高一统考期末）若平