6.4.1&6.4.2 平面几何中的向量方法与向量在物理中的应用举例（讲义，2考点+8题型）-2023-2024学年高一数学同步讲义与对点练（人教A版2019必修第二册）

6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例 知识点一 平面几何中的向量方法 1.解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题． (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题． (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 2.平面几何问题与平面向量之间的对应关系 几何元素及其表示 向量及其运算 点A 线段两点间的距离 夹角 直线 三点共线 直线 微点拨： 利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一是选择一组基底，利用基底表示涉及的向量；另一种是建立直角坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标. 知识点二 用向量解决物理问题的步骤 用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： (1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题． (2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型． (3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等． (4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题． 考点一 平面几何中的向量方法 1.用向量法解决平面几何问题的两种方法 (1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解． (2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法． 2.用向量方法解决平面几何问题的步骤 题型一 长度问题 1．（2023下·福建·高一校联考期中）在中，点D是边的中点，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2022下·辽宁锦州·高一统考期末）已知，，，，点D在边上且，则长度为（    ） A． B． C． D． 3．（2023下·河北沧州·高一校考阶段练习）如图，在中，. (1)求的长； (2)求的长. 题型二 夹角问题 1．（2024·广东佛山·统考一模）已知中，，边上的高与边上的中线相等，则 . 2．（2023下·福建厦门·高一校考期中）如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于M，则 .    3．（2022下·山东菏泽·高一统考期末）如图，在中，已知，，，且.求. 题型三 共线问题 1．（2023下·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期末）已知点，，，若A，B，C三点共线，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2023上·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试）若三点不能构成三角形，则 . 3．（2023·全国·模拟预测）已知中，，且为的外心．若在上的投影向量为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2023下·辽宁抚顺·高一校联考期中）如图，AB为半圆O的直径，，C，D为（不含端点）上两个不同的动点.    (1)若C是上更靠近点B的三等分点，D是上更靠近点A的三等分点，用向量方法证明：且. (2)若与共线，求面积的最大值. 题型四 垂直问题 1．（2023·全国·高一随堂练习）用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：． 2．（2023下·山东济南·高一山东师范大学附中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心． (1)求重心E的坐标； (2)用向量法证明：． 3．（2023下·湖南常德·高一临澧县第一中学校考阶段练习）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 题型五 几何最值（范围）问题 1．（2023上·重庆·高三西南大学附中校联考阶段练习）已知点M为外接圆O上的任意一点，，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 2．（2023·全国·模拟预测）已知圆的半径为1，过圆外一点作一条切线与圆相切于点，，为圆上一个动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2023上·江苏·高一校联考阶段练习）在平面内，定点满足，，动点P，M满足，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 考点二 向量在物理中的应用 提分笔记 (1)求力向量、速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的平行四边形法则求解． (2)用向量方法解决物理问题的步骤： 题型一 力的合成 1．（2023