专题2.6 重难突破7 数列中的证明及放缩问题（Word讲义）-【金版新学案】2024高考数学大二轮专题复习与测试（新教材）

重难突破7　数列中的证明及放缩问题 类型一　关于数列项的不等式证明 设正项数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋(n∈N*)．求证： (1)2<a－a≤3； (2)≤≤. 证明：(1)因为a1＝1及an＋1＝an＋(n≥1)， 所以an≥1， 所以0＜≤1. 因为a＝2＝a＋＋2， 所以a－a＝＋2∈(2，3]， 即2<a－a≤3. (2)由(1)得2<a－a≤3， 2<a－a≤3，2<a－a≤3， 2<a－a≤3，故2n<a－a≤3n， 所以2n＋1<a≤3n＋1， 即2n－1<a≤3n－2(n≥2)， 而n＝1时，也满足2n－1≤a≤3n－2， 所以2n－1≤a≤3n－2， 所以＝1＋∈. 即≤≤. 感悟提升 常见的放缩方法 1．结合“累加”“累乘”“迭代”放缩．右右右 2．利用二项式定理放缩． 3．利用基本不等式或不等式的性质． 4．转化为求最值、值域问题．　　 针对练1.已知数列{an}满足a1＝1，an－1＝an(n≥2，n∈N*)． (1)求an； (2)若数列{bn}满足b1＝，bn＋1＝bn＋(n∈N*)，求证：bn<. 解析：(1)由题意＝(n≥2)， an＝a1×××…×＝1×××…×＝n，当a1＝1时也满足． 所以an＝n(n∈N*)． (2)证明：由已知b1＝<，b2＝b1＋1＝<，b3＝b2＋＝＋＝<， 当n≥3时，bn＋1－bn＝<＝－， 因此bn＋1＝b3＋(b4－b3)＋(b5－b4)＋…＋(bn＋1－bn)<＋＋＋…＋＝－<， 则bn＝bn＋1－< 综上，bn<. 类型二　先求和后放缩 已知数列{an}满足a1＝2，(n＋1)an＋1＝2(n＋2)an，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设Sn是数列{an}的前n项和，求证：Sn＜2an. 解析：(1)法一：由题意得＝2·， 又＝1, 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以＝2n－1， 所以an＝(n＋1)·2n－1(n∈N*)． 法二：由题意得＝， 所以＝··…·＝···…·＝(n＋1)·2n－2. 因为a1＝2，所以an＝(n＋1)·2n－1(n∈N*)． (2)证明：因为an＝(n＋1)·2n－1， 所以Sn＝2×20＋3×21＋4×22＋…＋n·2n－2＋(n＋1)·2n－1①， 2Sn＝2×21＋3×22＋…＋(n－1)×2n－2＋n×2n－1＋(n＋1)×2n②， ②－①得Sn＝－2×20－(21＋22＋…＋2n－1)＋(n＋1)×2n＝n·2n. 因为Sn－2an＝n·2n－(n＋1)2n＝－2n<0， 所以Sn＜2an. 感悟提升 对于含有数列和的不等式，若数列的和易于求出，则一般采用先求和再放缩的策略证明不等式．　　 针对练2.在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝2，－an＋1，an，an＋2成等差数列．等差数列{bn}满足b1＝a2＋1，2b5－3b2＝a3－3. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设数列的前n项和为Tn，证明：Tn<. 解析：(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)， 因为－an＋1，an，an＋2成等差数列， 所以2an＝an＋2－an＋1， 所以2an＝an·q2－an·q. 因为an>0，所以q2－q－2＝0， 解得q＝2或q＝－1(舍去)， 又a1＝2，所以an＝2n(n∈N*)． 设等差数列{bn}的公差为d， 由题意，得b1＝a2＋1＝5， 由2b5－3b2＝a3－3＝5， 得2(b1＋4d)－3(b1＋d)＝－b1＋5d＝－5＋5d＝5，解得d＝2， 所以bn＝b1＋(n－1)d＝5＋2(n－1)＝2n＋3(n∈N*)． (2)证明：＝ ＝，则Tn＝ ＝＝－. 因为n∈N*，所以>0，所以Tn<. 学生用书↓第39页 类型三　先放缩后求和 在数列{an}中，a1＝2，2nan＋1＝(n＋1)an(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，若数列{bn}的前n项和是Tn，求证：Tn<. 解析：(1)由题知2nan＋1＝(n＋1)an， 所以＝×，又＝2， 故数列是首项为2，公比为的等比数列， 所以＝2×n－1＝22－n， 所以an＝n·22－n(n∈N*)． (2)证明：由(1)可知an＝n·22－n， 所以bn＝＝， 根据指数增长的特征知，对任意n∈N*， 2n≥2n恒成立， 所以22n≥(2n)2，即4n≥4n2(n∈N*)． 所以≤＝， 所以bn≤， 所以数列{bn}的前n项和Tn≤ ＝<. 感悟提升 在解决与数列的和有关的不等式证明问题时，若不易求和，可根据项的结构特征进行放缩，转化为易求和数列来证明． 针对练3.已知数列{an}的前n项和为Sn，3an＝2Sn＋2n(n∈N*)． (1)证明：数列{an