专题1.4 重难突破1 平面向量的最值与范围问题（Word讲义）-【金版新学案】2024高考数学大二轮专题复习与测试（新教材）

重难突破1　平面向量的最值与范围问题 平面向量中的最值与范围问题，是高考的热点与难点问题，主要考查求向量的模、数量积、夹角及向量的系数等的最值、范围．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，数形结合也是解决平面向量中的最值与范围问题的重要方法． 类型一　求数量积的最值(范围) (1)(2023·山东日照一模)已知正六边形ABCDEF的边长为2，P是正六边形ABCDEF边上任意一点，则·的最大值为(　　) A．13 B．12 C．8 D．2 (2)(2023·全国乙卷)已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|＝，则·的最大值为(　　) A． B． C．1＋ D．2＋ 答案：(1)B　(2)A 解析：(1)以正六边形ABCDEF中心O为原点建立平面直角坐标系如图所示，AB，DE交y轴于G，H，则C(2，0)，F，A，B，G，E，D，H，设P，＝，＝，·＝x2＋y2＋2y＋2，由正六边形对称性，不妨只研究y轴左半部分. ①当P在EH上时，则x∈，y＝，则·＝x2＋11≤12； ②当P在AG上时，则x∈，y＝－，则·＝x2－1≤0； ③当P在EF上时，则lEF：y＝，x∈，则·＝4x2＋18x＋26＝42＋≤12； ④当P在AF上时，则lAF：y＝－，x∈，则·＝4x2＋6x＋2＝42－≤6.综上，所求最大值为12.故选B． (2)如图所示，|OA|＝1，|PO|＝，则由题意可知∠APO＝45°，由勾股定理可得PA＝＝1，当点A，D位于直线PO异侧时，如图①，设∠OPC＝α，0≤α<，则·＝||||cos＝1×cos αcos＝cos α＝cos2α－sin αcos α＝－sin 2α＝－sin，又0≤α<，则－≤2α－<，所以当2α－＝－时，·有最大值1. 当点A，D位于直线PO同侧时，如图②，设∠OPC＝α，0≤α<，则·＝||||cos＝1×cos αcos＝cos α＝cos2α＋sin αcos α＝＋sin 2α＝＋sin，又0≤α<，则≤2α＋<，所以当2α＋＝时，·有最大值.综上可得，·的最大值为.故选A． 感悟提升 向量数量积最值(范围)问题的解题策略 1．形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断． 2．数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．　　 针对练1.(2023·天津卷)在三角形ABC中，A＝，||＝1，D为线段AB的中点，E为线段CD的中点，若设＝a，＝b，则可用a，b表示为________；若＝，则·的最大值为_________. 答案：a＋b　 解析：因为E为CD的中点，所以＝＋，因为D为AB的中点，所以＝，所以＝＋，又＝a，＝b，所以＝a＋b.因为＝，所以－＝(－)，即＝＋＝a＋b，所以·＝·＝a2＋a·b＋b2.因为a·b＝|a||b|cos＝||||，所以·＝(||2＋||2)＋||||，在△ABC中，由余弦定理可知||2＋||2＝||2＋2||||cos＝1＋||||， 由基本不等式可知||2＋||2≥2||||，即1＋||||≥2||||，所以||||≤1，当且仅当||＝||时，取等号，所以·＝(1＋||||)＋||||＝＋||||≤＋＝. 类型二　求参数的最值(范围) (1)(2023·江苏南通二模)如图，点C在半径为2的上运动，∠AOB＝，若＝m＋n，则m＋n的最大值为(　　) A．1 B． C． D． (2)如图，在△ABC中，点P满足＝3，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若＝λ，＝μ(λ>0，μ>0)，则λ＋μ的最小值为(　　) A．＋1 B．＋1 C． D． 答案：(1)C　(2)B 解析：(1)以O为原点，的方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系(图略)，则有＝(2，0)，＝(1，)．设∠AOC＝α，则＝(2cos α，2sin α)．由题意可知所以m＋n＝cos α＋sin α＝sin.因为α∈，所以α＋∈，故m＋n的最大值为.故选C． (2)如图所示，连接AP， ＝3，即－＝3(－)，所以＝＋，因为＝λ，＝μ(λ>0，μ>0)，所以＝，＝，所以＝＋，又M，P，N三点共线，则＋＝1，所以λ＋μ＝(λ＋μ)＝＋＋1≥2＋1＝＋1，当且仅当μ＝λ时等号成立，因此λ＋μ的最小值为＋1.故选B． 感悟提升 平面向量中涉及系数的范围问题时，要注意利用向量的模、数量积、夹角之间的关系，通过列不等式或等式得关于系数的关系式，从而求系数的取值范围．　　 针对练2.在正六边