送分点3 排列、组合与二项式定理-【金版新学案】2024高考数学大二轮专题复习与测试（新教材）

送分点三　排列、组合与二项式定理 1．如图，在两行三列的网格中放入标有数字1，2，3，4，5，6的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为5”的不同的排法有(　　) A．96种 B．64种 C．32种 D．16种 答案：B 解析：法一：根据题意，分3步进行，第一步，要求“只有中间一列两个数字之和为5”，则中间的数字只能为两组数1，4或2，3中的一组，共有2A＝4种排法；第二步，排第一步中剩余的一组数，共有AA＝8种排法；第三步，排数字5和6，共有A＝2种排法；由分步乘法计数原理知，共有不同的排法种数为4×8×2＝64(种)．故选B． 法二：首先将1和4或2和3放到中间一列有AA种，再将剩下的4张卡片放入其他的4个网格有A种，由分步乘法计数原理共有AAA＝96种排法，应减去若1和4与2和3中一组放中间，另一组放左边(或右边)一列的排法有2AAAA＝32种．故所求为96－32＝64(种)． 2．(2023·山东青岛第二次适应性测试)某教育局为振兴乡村教育，将5名教师安排到3所乡村学校支教，若每名教师仅去一所学校，每所学校至少安排1名教师，则不同的安排情况有(　　) A．300种 B．210种 C．180种 D．150种 答案：D　 解析：由于每所学校至少安排1名教师，则不同的安排情况有A＝150种．故选D． 3．(2023·广东广州一模)“回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等，数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”．“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有(　　) A．100个 B．125个 C．225个 D．250个 答案：C 解析：依题意，五位正整数中的“回文数”具有：万位与个位数字相同，且不能为0；千位与十位数字相同，求有且仅有两位数字是奇数的“回文数”的个数有两类办法：最多1个0，取奇数字有A种，取能重复的偶数字有A种，它们排入数位有A种，取偶数字占百位有A种，不同“回文数”的个数是AAAA＝200个；最少2个0，取奇数字有A种，占万位和个位，两个0占位有1种，取偶数字占百位有A种，不同“回文数”的个数是AA＝25个．由分类加法计数原理知，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有200＋25＝225个．故选C． 4．(2023·湖南永州三模)在二项式6的展开式中，把所有的项进行排列，有理项都互不相邻，则不同的排列方案为(　　) A．AA种 B．AA种 C．AA种 D．AA种 答案：A 因为二项展开式的通项为Tr＋1＝C()6－r·r＝C·x，又因为0≤r≤6，所以当r＝0或r＝4时，为有理项，所以有理项共有2项，其余5项为无理项，先排5项无理项，共有A种排法，再排2项有理项，共有A种排法，所以有理项互不相邻的排法总数为AA种．故选A． 5．(2023·辽宁葫芦岛二模)(2x＋y)8的展开式中x2y6的系数为(　　) A．－336 B．－28 C．56 D．112 答案：A 解析：8＝8－(2x＋y)8，8展开式的通项公式为Tr＋1＝C8－ryr，将含x2y6项记为S，则S＝C2y6－C3y5＝112x2y6－448x2y6＝－336x2y6，故含x2y6项的系数为－336.故选A． 6．(多选)若(1－2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024，则下列结果正确的是(　　) A．a0＋a1＋a2＋…＋a2 024＝1 B．a0＋a2＋a4＋…＋a2 024＝ C．＋＋…＋＝0 D．a1＋2a2＋3a3＋…＋2 024a2 024＝4 048 答案：ABD 解析：令x＝1可得a0＋a1＋a2＋…＋a2 024＝(－1)2 024＝1　①，故A正确；令x＝－1可得：a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 024＝32 024　②，①＋②可得：2(a0＋a2＋a4＋…＋a2 024)＝1＋32 024，故a0＋a2＋a4＋…＋a2 024＝，故B正确；令x＝0可得：a0＝12 024＝1　③，令x＝可得：a0＋＋＋…＋＝0　④，把③代入④即可得出：＋＋…＋＝－1，故C错误；两边对x求导得－4 048(1－2x)2 023＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋2 024a2 024x2 023，令x＝1可得a1＋2a2＋3a3＋…＋2 024a2 024＝4 048，故D正确．故选ABD． 7．(2023·安徽黄山高三质检)(3x－y＋2z)5的展开式中所有不含字母z的项的系数之和为_________. 答案：32 解析：由二项式定理得：5的展开项的通项公式为Tr＋1＝C5－r·r，欲使得不含z，则r＝0，所以T1＝5，令x＝1，y＝1，则不含字母z的项的