送分点2 不等式的性质及解法-【金版新学案】2024高考数学大二轮专题复习与测试（新教材）

送分点二　 不等式的性质及解法 1．(2023·广东惠州模拟)已知实数a>b>0>c，则下列结论一定正确的是(　　) A．> B．a>c C．< D．a2>c2 答案：A　 解析：A选项中，因为a>b>0>c，所以>0>，故A选项正确；B选项中，因为函数y＝x在R上单调递减且a>c，所以a<c，故B选项错误；C选项中，因为a>0>c，则>0>，故C选项错误；D选项中，若a＝1，c＝－2，满足a>0>c，但a2<c2，故D选项错误．故选A． 2．(2023·山东菏泽一模)设实数x，y满足x＋y＝1，y>0，x≠0，则＋的最小值为(　　) A．2－1 B．2＋1 C．－1 D．＋1 答案：A　 解析：当x>0时，＋＝＋＝＋＋1≥2＋1＝2＋1，当且仅当＝，即x＝－1，y＝2－时等号成立，此时有最小值2＋1；当x<0时，＋＝＋＝＋－1≥2－1＝2－1，当且仅当＝，即x＝－1－，y＝2＋时等号成立，此时有最小值2－1，所以＋的最小值为2－1.故选A． 3．已知a＝，b＝，则a，b之间的大小关系是(　　) A．a>b B．a<b C．a＝b D．无法比较 答案：A　 解析：设f(x)＝2 024x＋1，则a＝，b＝，所以1－a＝＝＝＝，1－b＝＝＝，因为2 0245＋2 024>2 0245＋1，所以1－a<1－b，即a>b.故选A． 4．正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋≥m2－3m恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(－4，1) B．(－∞，－1)∪(4，＋∞) C．[－1，4] D．(－∞，－1]∪[4，＋∞) 答案：C 解析：正实数x，y满足＋＝1，则x＋＝＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，当且仅当＝，即y＝4x且＋＝1时，等号成立，则x＝2，y＝8时，x＋取到最小值4，要使不等式x＋≥m2－3m恒成立，即m2－3m≤4，解得－1≤m≤4，所以实数m的取值范围是[－1，4]．故选C． 5．(多选)(2023·湖南永州三模)已知a，b，c∈R，下列命题为真命题的是(　　) A．若b<a<0，则b·c2<a·c2 B．若b>a>0>c，则< C．若c>b>a>0，则> D．若a>b>c>0，则> 答案：BD　 解析：对于A项，ac2－bc2＝c2(a－b)，因为b<a<0，所以a－b>0，又c2≥0，所以c2(a－b)≥0，即：b·c2≤a·c2，故A项错误；对于B项，－＝，因为b>a>0>c，所以c(b－a)<0，ab>0，所以－＝<0，即：<，故B项正确；对于C项，－＝，因为c>b>a>0，所以c－a>0，c－b>0，a－b<0，所以－＝<0，即：<，故C项错误；对于D项，因为－＝＝，又因为a>b>c>0，所以a－b>0，b＋c>0，所以>0，即：>，故D项正确．故选BD． 6．(多选)(2023·山东聊城一模)设a>0，b>0，且a＋2b＝2，则下列结论正确的是(　　) A．ab的最大值为 B．a＋b的最小值为1 C．a2＋b2的最小值为 D．的最小值为 答案：ACD 解析：对于A，a>0，b>0，2≤a＋2b＝2⇒ab≤，当a＝2b时，即a＝1，b＝时，可取等号，故A对；对于B，a＋b＝2－b，因为a>0，所以0<b<1，1<a＋b<2，取不到1，故B错；对于C，a2＋b2＝(2－2b)2＋b2＝5b2－8b＋4＝52＋≥，当a＝，b＝时，可取等号，故C对；对于D，＝＝＝＋，＋＝·(a＋2b)·＝≥＝，当＝时，可取等号，故D对．故选ACD． 7．(多选)(2023·广东肇庆二模)已知正数a，b满足等式a2－b＝2(2ln b－ln a)，则下列不等式中可能成立的有(　　) A．a>b2> B．a<b2< C．a>b>1 D．b<a<1 答案：AC 解析：因为a2－b＝2(2ln b－ln a)，a>0，b>0，所以a2－b＝2(ln b2－ln a)，所以a2＋ln a2＝b＋2ln b2＝b＋ln b4，构造f(b)＝b2＋ln b2－(b＋ln b4)＝b2＋2ln b－b－4ln b＝b2－b－2ln b，所以f′(b)＝2b－1－＝2－1，当2－1<0，即b∈时，分析b∈(0，1)即可，所以f(b)在(0，1)上单调递减，所以f(b)>f(1)＝0，所以f(b)>0，所以b2＋ln b2－(b＋ln b4)>0，所以b2＋ln b2>b＋ln b4，由b＋ln b4＝a2＋ln a2，所以b2＋ln b2>a2＋ln a2，构造g(x)＝x＋ln x，x∈(0，1)，则g′(x)＝1＋>0，所以g(x)在(0，1)上单调递增，所以由b2＋ln b2>a2＋ln a2得g(b2)>g(a2)，所以b2>a2，故此时a<b<1, D选项错误；当b∈时，f(b)<f(1)＝0，此时b2＋ln b2<a2＋ln a2，b